Чтобы решить иррациональное уравнение √(2x-1) = x-2, следуйте следующим шагам:

1. Проверьте область допустимых значений (ОДЗ). Поскольку у нас есть квадратный корень, подкоренное выражение должно быть неотрицательным. То есть:
   • 2x - 1 ≥ 0
   Решим это неравенство:
   • 2x ≥ 1
   • x ≥ 1/2
   Кроме того, правая часть уравнения (x - 2) должна быть неотрицательной, так как квадратный корень не может быть равен отрицательному числу:
   • x - 2 ≥ 0
   • x ≥ 2
   Таким образом, объединяя оба условия, получаем: x ≥ 2.
2. Избавьтесь от квадратного корня. Возведем обе части уравнения в квадрат, чтобы избавиться от корня:
   • (√(2x-1))² = (x-2)²
   • 2x - 1 = (x - 2)²
3. Раскройте скобки и упростите уравнение. Раскроем скобки справа:
   • 2x - 1 = x² - 4x + 4
   Перенесем все в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение:
   • x² - 4x + 4 - 2x + 1 = 0
   • x² - 6x + 5 = 0
4. Решите квадратное уравнение. Используем дискриминант или теорему Виета:
   • Дискриминант: D = b² - 4ac = (-6)² - 4*1*5 = 36 - 20 = 16
   • Корни: x = (-b ± √D) / 2a
   • x₁ = (6 + 4) / 2 = 5
   • x₂ = (6 - 4) / 2 = 1
5. Проверьте корни на соответствие ОДЗ. Мы нашли два корня: x = 5 и x = 1. Но согласно ОДЗ, x должно быть не меньше 2. Следовательно, x = 1 не подходит.
6. Проверка корня. Подставим x = 5 в исходное уравнение, чтобы убедиться, что это действительно решение:
   • √(2*5 - 1) = 5 - 2
   • √9 = 3
   • 3 = 3
   Уравнение верно, значит, x = 5 является решением.

Ответ: x = 5.