Как решить логарифмические неравенства:

1. а) log2 x ≤ -3
2. б) log1/3 x ≤ 2
3. в) log1/2 x ≥ -3

Алгебра 11 класс Логарифмические неравенства логарифмические неравенства решение неравенств алгебра 11 класс log2 x ≤ -3 log1/3 x ≤ 2 log1/2 x ≥ -3 Новый

Решение логарифмических неравенств требует понимания свойств логарифмов и их графиков. Давайте разберем каждое из данных неравенств по очереди.

а) log2 x ≤ -3

1. Начнем с преобразования логарифмического неравенства в экспоненциальное. Мы знаем, что логарифм с основанием 2 равен -3, если:
2. x ≤ 2^(-3).
3. Теперь вычислим 2^(-3): это равно 1/(2^3) = 1/8.
4. Следовательно, неравенство можно записать как x ≤ 1/8.
5. Теперь необходимо учитывать область определения логарифма: x > 0. Таким образом, окончательное решение:
6. 0 < x ≤ 1/8.

б) log1/3 x ≤ 2

1. Сначала преобразуем неравенство в экспоненциальную форму. Мы знаем, что log1/3 x = 2, если:
2. x ≤ (1/3)^2.
3. Теперь вычислим (1/3)^2: это равно 1/9.
4. Таким образом, неравенство можно записать как x ≥ 1/9, так как основание логарифма меньше 1 и неравенство меняет знак.
5. Также необходимо учитывать область определения логарифма: x > 0. Поэтому окончательное решение:
6. x ≥ 1/9.

в) log1/2 x ≥ -3

1. Сначала преобразуем неравенство в экспоненциальную форму. Мы знаем, что log1/2 x = -3, если:
2. x ≥ (1/2)^(-3).
3. Теперь вычислим (1/2)^(-3): это равно 2^3 = 8.
4. Таким образом, неравенство можно записать как x ≥ 8, так как основание логарифма меньше 1 и неравенство меняет знак.
5. Также необходимо учитывать область определения логарифма: x > 0. Поэтому окончательное решение:
6. x ≥ 8.

Итак, подводя итог, мы получили следующие решения:

• а) 0 < x ≤ 1/8;
• б) x ≥ 1/9;
• в) x ≥ 8.