Как решить неравенство: log1/6(10 – x) + log1/6(x – 3) ≥ - 1?

Алгебра 11 класс Логарифмические неравенства решение неравенства алгебра 11 класс логарифмы неравенства с логарифмами log1/6 математические методы решения Новый

Для решения неравенства log_1/6(10 – x) + log_1/6(x – 3) ≥ - 1 будем следовать нескольким шагам.

1. Определим область допустимых значений.

   Логарифмы определены только для положительных аргументов, поэтому необходимо выполнить следующие условия:

   • 10 - x > 0, что приводит к x < 10;
   • x - 3 > 0, что приводит к x > 3.

   Таким образом, область допустимых значений: 3 < x < 10.

2. Перепишем неравенство.

   Используем свойство логарифмов: log_a(b) + log_a(c) = log_a(b * c).

   Тогда неравенство можно переписать так:

   log_1/6((10 - x)(x - 3)) ≥ -1.
3. Перейдем к показательной форме.

   Неравенство log_1/6(A) ≥ -1 можно переписать в показательной форме:

   (10 - x)(x - 3) ≤ (1/6)^-1.

   Так как (1/6)^-1 = 6, получаем:

   (10 - x)(x - 3) ≤ 6.
4. Решим неравенство.

   Раскроем скобки:

   10x - 30 - x² + 3x ≤ 6.

   Соберем все в одну сторону:

   -x² + 13x - 36 ≤ 0.

   Умножим на -1 (не изменяя знак неравенства):

   x² - 13x + 36 ≥ 0.
5. Найдем корни квадратного уравнения.

   Используем дискриминант:

   D = b² - 4ac = (-13)² - 4 * 1 * 36 = 169 - 144 = 25.

   Корни уравнения:

   x_1,2 = (13 ± √25) / 2 = (13 ± 5) / 2.
   • x₁ = 9;
   • x₂ = 4.
6. Построим интервал и проверим знаки.

   Корни 4 и 9 разбивают числовую ось на три интервала: (-∞, 4), (4, 9), (9, +∞).

   Проверим знак на каждом из интервалов:

   • Для x < 4 (например, x = 0): 0 - 13 * 0 + 36 = 36 > 0;
   • Для 4 < x < 9 (например, x = 5): 5 - 13 * 5 + 36 = -4 < 0;
   • Для x > 9 (например, x = 10): 10 - 13 * 10 + 36 = 16 > 0.

   Таким образом, неравенство x² - 13x + 36 ≥ 0 выполняется на интервалах: (-∞, 4] и [9, +∞).

7. Учитываем область допустимых значений.

   Мы нашли, что неравенство выполняется для x ≤ 4 и x ≥ 9, но область допустимых значений ограничивает нас:

   3 < x < 10.

   Таким образом, окончательное решение:

   x ∈ (3, 4] ∪ [9, 10).

Это и есть решение нашего неравенства. Если есть вопросы, не стесняйтесь задавать!