Как решить логарифмическое неравенство:

log²0,4(-x) - 0,25log0,4(x⁴) ≤ 2?

Алгебра 11 класс Логарифмические неравенства логарифмическое неравенство решение неравенства алгебра 11 класс логарифмы неравенства математические задачи методы решения школьная алгебра Новый

Для решения логарифмического неравенства log²0,4(-x) - 0,25log0,4(x⁴) ≤ 2 будем следовать следующим шагам:

1. Упрощение логарифмов: Начнем с преобразования второго логарифма. Мы знаем, что log0,4(x⁴) = 4 * log0,4(x). Подставим это в неравенство:

2. Неравенство примет вид:

   log²0,4(-x) - 0,25 * 4 * log0,4(x) ≤ 2

   или

   log²0,4(-x) - log0,4(x) ≤ 2.

3. Переход к одной переменной: Обозначим y = log0,4(-x). Тогда log0,4(x) = log0,4(-(-x)) = log0,4(-x) + log0,4(-1) = log0,4(-x) + 1 (поскольку log0,4(-1) = 1). Таким образом, можем переписать неравенство:

4. Неравенство станет:

   y² - (y + 1) ≤ 2.

5. Упрощение неравенства: Раскроем скобки и приведем подобные:

6. y² - y - 1 - 2 ≤ 0

   или

   y² - y - 3 ≤ 0.

7. Решение квадратного неравенства: Найдем корни уравнения y² - y - 3 = 0 с помощью дискриминанта:

8. Дискриминант D = b² - 4ac = (-1)² - 4 * 1 * (-3) = 1 + 12 = 13.

   Корни:

   y₁ = (1 + √13) / 2, y₂ = (1 - √13) / 2.

9. Определение интервалов: Теперь, чтобы решить неравенство y² - y - 3 ≤ 0, определим знаки на интервалах:

10. Корни делят числовую ось на три интервала:

    • (-∞, (1 - √13)/2)
    • ((1 - √13)/2, (1 + √13)/2)
    • ((1 + √13)/2, +∞)

    Проверяем знаки на каждом интервале:

    • На интервале (-∞, (1 - √13)/2) - знак положительный.
    • На интервале ((1 - √13)/2, (1 + √13)/2) - знак отрицательный.
    • На интервале ((1 + √13)/2, +∞) - знак положительный.

    Таким образом, решение неравенства:

    y ∈ [(1 - √13)/2, (1 + √13)/2].

11. Возвращаемся к x: Теперь нам нужно перевести это решение обратно в переменную x:

12. Так как y = log0,4(-x), получаем:

    (1 - √13)/2 ≤ log0,4(-x) ≤ (1 + √13)/2.

    Переписываем в экспоненциальной форме:

    -x ≥ 0,4^((1 - √13)/2) и -x ≤ 0,4^((1 + √13)/2).

13. Решаем для x: Мы можем получить конечное решение:

14. x ≤ -0,4^((1 - √13)/2) и x ≥ -0,4^((1 + √13)/2).

    Итак, окончательное решение неравенства:

    x ∈ [-0,4^((1 + √13)/2), -0,4^((1 - √13)/2)].

Таким образом, мы нашли решение логарифмического неравенства. Если у вас есть дополнительные вопросы, не стесняйтесь спрашивать!