СРОЧНО!!!

Помогите решить неравенство:

log₂(x-1) + log₂ x < 1

Алгебра 11 класс Логарифмические неравенства алгебра 11 класс неравенство логарифмы решение неравенства log2 математические задачи подготовка к экзамену Новый

Давайте решим неравенство: log₂(x-1) + log₂ x < 1.

Первый шаг - использовать свойства логарифмов. Мы знаем, что сумма логарифмов равна логарифму произведения. Поэтому мы можем переписать неравенство следующим образом:

log₂((x-1) * x) < 1

Теперь, чтобы избавиться от логарифма, мы можем воспользоваться определением логарифма. Неравенство log₂(a) < b эквивалентно a < 2^b. В нашем случае это будет:

(x-1) * x < 2^1

Теперь упростим это неравенство:

(x-1) * x < 2

Раскроем скобки:

x^2 - x < 2

Теперь перенесем 2 в левую часть неравенства:

x^2 - x - 2 < 0

Теперь мы можем решить квадратное неравенство. Для этого сначала найдем корни соответствующего квадратного уравнения:

x^2 - x - 2 = 0

Используем формулу корней квадратного уравнения:

x = (-b ± √(b² - 4ac)) / 2a

В нашем случае a = 1, b = -1, c = -2. Подставим значения:

x = (1 ± √((-1)² - 4 * 1 * (-2))) / (2 * 1)

Теперь вычислим дискриминант:

D = 1 + 8 = 9

Теперь находим корни:

x = (1 ± 3) / 2

Это дает нам два корня:

• x₁ = (1 + 3) / 2 = 2
• x₂ = (1 - 3) / 2 = -1

Теперь мы имеем корни x₁ = 2 и x₂ = -1. Поскольку мы решаем неравенство x^2 - x - 2 < 0, нам нужно определить промежутки, в которых это неравенство выполняется. Мы проверим знаки на интервалах, образованных корнями:

• Интервал (-∞, -1): выбираем x = -2, подставляем в выражение: (-2)^2 - (-2) - 2 = 4 + 2 - 2 = 4 (положительное)
• Интервал (-1, 2): выбираем x = 0, подставляем: 0^2 - 0 - 2 = -2 (отрицательное)
• Интервал (2, +∞): выбираем x = 3, подставляем: 3^2 - 3 - 2 = 9 - 3 - 2 = 4 (положительное)

Таким образом, неравенство x^2 - x - 2 < 0 выполняется на интервале (-1, 2).

Но не забываем, что у нас есть логарифмы, и их аргументы должны быть положительными:

x - 1 > 0 => x > 1

x > 0

Таким образом, учитывая условия логарифмов, мы можем сделать вывод, что решение неравенства log₂(x-1) + log₂ x < 1 будет:

x ∈ (1, 2)

Ответ: x принадлежит интервалу (1, 2).