1) (4x - 2) / (3x + 5) + 4 ≤ 0

Шаги решения:

1. Переносим 4 в правую часть: (4x - 2) / (3x + 5) ≤ -4.
2. Приводим к общему знаменателю: (4x - 2) / (3x + 5) + 4*(3x + 5)/(3x + 5) ≤ 0.
3. Получаем: (4x - 2 + 12x + 20) / (3x + 5) ≤ 0.
4. Складываем числители: (16x + 18) / (3x + 5) ≤ 0.
5. Находим нули числителя и знаменателя: 16x + 18 = 0 и 3x + 5 = 0.
6. Решаем уравнения: x = -18/16 = -9/8 и x = -5/3.
7. Расставляем точки на числовой прямой и исследуем знаки в интервалах.
8. Проверяем интервалы: x < -5/3, -5/3 < x < -9/8, x > -9/8.
9. Определяем знак выражения в каждом интервале и выбираем те, где неравенство выполняется.
10. Ответ: x ∈ (-∞, -5/3) ∪ [-9/8, ∞).

2) 3 - x ≥ 1 / (2 - x)

Шаги решения:

1. Переносим 1/(2-x) в левую часть: 3 - x - 1/(2-x) ≥ 0.
2. Приводим к общему знаменателю: (3 - x)(2 - x) - 1 ≥ 0.
3. Раскрываем скобки: (6 - 3x - 2x + x^2) - 1 ≥ 0.
4. Упрощаем: x^2 - 5x + 5 ≥ 0.
5. Решаем квадратное неравенство: находим корни x^2 - 5x + 5 = 0.
6. Используем дискриминант: D = 25 - 20 = 5, корни: x = (5 ± √5)/2.
7. Располагаем корни на числовой прямой и исследуем интервалы.
8. Проверяем знаки в интервалах: x < (5 - √5)/2, (5 - √5)/2 < x < (5 + √5)/2, x > (5 + √5)/2.
9. Выбираем интервалы, где неравенство выполняется.
10. Ответ: x ∈ (-∞, (5 - √5)/2] ∪ [(5 + √5)/2, ∞).

3) x + 2 / x > 3

Шаги решения:

1. Переносим 3 в левую часть: x + 2/x - 3 > 0.
2. Приводим к общему знаменателю: (x^2 + 2 - 3x) / x > 0.
3. Упрощаем числитель: (x^2 - 3x + 2) / x > 0.
4. Находим корни числителя: x^2 - 3x + 2 = 0.
5. Корни: x = 1 и x = 2.
6. Располагаем корни и точку x = 0 (где знаменатель обращается в ноль) на числовой прямой.
7. Исследуем знаки на интервалах: x < 0, 0 < x < 1, 1 < x < 2, x > 2.
8. Выбираем интервалы, где неравенство выполняется.
9. Ответ: x ∈ (0, 1) ∪ (2, ∞).

4) (7x - 5) / (x + 1) > x

Шаги решения:

1. Переносим x в левую часть: (7x - 5) / (x + 1) - x > 0.
2. Приводим к общему знаменателю: (7x - 5 - x(x + 1)) / (x + 1) > 0.
3. Упрощаем числитель: (7x - 5 - x^2 - x) / (x + 1) > 0.
4. Складываем: (-x^2 + 6x - 5) / (x + 1) > 0.
5. Находим корни числителя: -x^2 + 6x - 5 = 0.
6. Корни: x = 1 и x = 5.
7. Располагаем корни и точку x = -1 (где знаменатель обращается в ноль) на числовой прямой.
8. Исследуем знаки на интервалах: x < -1, -1 < x < 1, 1 < x < 5, x > 5.
9. Выбираем интервалы, где неравенство выполняется.
10. Ответ: x ∈ (-1, 1) ∪ (5, ∞).

Надеюсь, эти объяснения помогут вам понять, как решать такие неравенства!