Чтобы решить неравенства x + 3 / x - 9 < 0 и x + 6 / x - 2 ≥ 0, нам нужно следовать определённым шагам. Давайте разберём каждое неравенство по отдельности.

1. Решение неравенства x + 3 / x - 9 < 0

Первое, что нужно сделать, это привести неравенство к общему виду. Мы можем представить его как:

(x + 3) / (x - 9) < 0

Теперь нам нужно определить, когда дробь (x + 3) / (x - 9) меньше нуля. Для этого нам нужно найти нули числителя и знаменателя:

• Числитель: x + 3 = 0 → x = -3
• Знаменатель: x - 9 = 0 → x = 9

Теперь у нас есть два критических значения: x = -3 и x = 9. Эти значения делят числовую прямую на три интервала:

• (-∞, -3)
• (-3, 9)
• (9, +∞)

Теперь проверим знак дроби на каждом из интервалов:

1. Для интервала (-∞, -3), например, x = -4:
   • (-4 + 3) / (-4 - 9) = -1 / -13 > 0 (положительно)
2. Для интервала (-3, 9), например, x = 0:
   • (0 + 3) / (0 - 9) = 3 / -9 < 0 (отрицательно)
3. Для интервала (9, +∞), например, x = 10:
   • (10 + 3) / (10 - 9) = 13 / 1 > 0 (положительно)

Таким образом, дробь (x + 3) / (x - 9) меньше нуля на интервале (-3, 9). Не забываем, что x не может равняться 9, так как это делает знаменатель равным нулю. Поэтому решение первого неравенства:

x ∈ (-3, 9)

2. Решение неравенства x + 6 / x - 2 ≥ 0

Теперь перейдем ко второму неравенству:

(x + 6) / (x - 2) ≥ 0

Аналогично, находим нули числителя и знаменателя:

• Числитель: x + 6 = 0 → x = -6
• Знаменатель: x - 2 = 0 → x = 2

Теперь у нас есть также два критических значения: x = -6 и x = 2. Эти значения делят числовую прямую на три интервала:

• (-∞, -6)
• (-6, 2)
• (2, +∞)

Теперь проверим знак дроби на каждом из интервалов:

1. Для интервала (-∞, -6), например, x = -7:
   • (-7 + 6) / (-7 - 2) = -1 / -9 > 0 (положительно)
2. Для интервала (-6, 2), например, x = 0:
   • (0 + 6) / (0 - 2) = 6 / -2 < 0 (отрицательно)
3. Для интервала (2, +∞), например, x = 3:
   • (3 + 6) / (3 - 2) = 9 / 1 > 0 (положительно)

Таким образом, дробь (x + 6) / (x - 2) больше или равна нулю на интервалах (-∞, -6] и [2, +∞). Здесь мы включили -6, так как неравенство ≥ позволяет это, и исключили 2, так как знаменатель не может равняться нулю. Поэтому решение второго неравенства:

x ∈ (-∞, -6] ∪ [2, +∞)

Итог

Таким образом, мы получили решения для обоих неравенств:

• Для первого неравенства: x ∈ (-3, 9)
• Для второго неравенства: x ∈ (-∞, -6] ∪ [2, +∞)