Решим неравенство 16 - x² / (x - 3)² ≥ 0. Давайте разберем его шаг за шагом.

Сначала представим неравенство в виде:

(16 - x²) / (x - 3)² ≥ 0

Теперь нам нужно проанализировать числитель и знаменатель:

• Числитель: 16 - x²
• Знаменатель: (x - 3)²

Решим уравнение 16 - x² = 0:

16 = x²

x = ±4

Таким образом, нули числителя: x = 4 и x = -4.

Теперь определим знаки числителя и знаменателя на интервалах, которые образуют найденные нули:

• Интервал 1: (-∞; -4)
• Интервал 2: (-4; 4)
• Интервал 3: (4; +∞)

• На интервале (-∞; -4): 16 - x² > 0 (положительный)
• На интервале (-4; 4): 16 - x² > 0 (положительный)
• На интервале (4; +∞): 16 - x² < 0 (отрицательный)

Знаменатель (x - 3)² всегда положителен, кроме точки x = 3, где он равен нулю.

Теперь можем составить таблицу знаков:

Неравенство 16 - x² / (x - 3)² ≥ 0 выполняется на интервалах, где выражение положительно или равно нулю. Это происходит на интервалах:

• (-∞; -4]
• (-4; 3)

Точка x = 3 исключается, так как в этой точке знаменатель равен нулю.

Таким образом, решение неравенства:

x ∈ (-∞; -4] ∪ (-4; 3)

На координатной прямой это будет выглядеть следующим образом:

• Точка -4 закрашена (включена в решение).
• Точка 3 не закрашена (исключена из решения).
• Точка 4 не закрашена (исключена из решения).

Надеюсь, это поможет вам понять, как решать подобные неравенства!