Чтобы решить неравенство (2^(1-x) - 2^x + 1) / (2^x - 1) < 0, начнем с анализа числителя и знаменателя отдельно.

Шаг 1: Анализ знаменателя

• Знаменатель 2^x - 1 равен нулю, когда 2^x = 1, что происходит при x = 0.
• Для x < 0, 2^x < 1, следовательно, 2^x - 1 < 0.
• Для x > 0, 2^x > 1, следовательно, 2^x - 1 > 0.

Шаг 2: Анализ числителя

Рассмотрим числитель 2^(1-x) - 2^x + 1. Упростим его:

• Запишем 2^(1-x) как 2 * 2^(-x), тогда числитель становится 2 * 2^(-x) - 2^x + 1.
• Обозначим y = 2^x. Тогда 2^(1-x) = 2/y и числитель можно переписать как 2/y - y + 1.
• Теперь мы имеем неравенство: (2/y - y + 1) / (y - 1) < 0.

Шаг 3: Найдем корни числителя

Решим уравнение 2/y - y + 1 = 0:

• Умножим на y (при y > 0): 2 - y^2 + y = 0.
• Перепишем как y^2 - y - 2 = 0.
• Решим квадратное уравнение с помощью дискриминанта: D = 1^2 - 4 * 1 * (-2) = 1 + 8 = 9.
• Корни: y1 = (1 + 3) / 2 = 2 и y2 = (1 - 3) / 2 = -1 (отбрасываем, так как y > 0).

Шаг 4: Объединяем результаты

Теперь у нас есть корень y = 2, что соответствует x = 1 (так как y = 2^x). Теперь мы знаем, что:

• Знаменатель 2^x - 1 меняет знак при x = 0.
• Числитель 2^(1-x) - 2^x + 1 меняет знак при x = 1.

Шаг 5: Определяем интервалы

Теперь мы можем определить знаки на интервалах:

• Для x < 0: 2^x - 1 < 0 и 2^(1-x) - 2^x + 1 > 0 (числитель положительный, знаменатель отрицательный) => результат положителен.
• Для 0 < x < 1: 2^x - 1 > 0 и 2^(1-x) - 2^x + 1 < 0 (числитель отрицательный, знаменатель положительный) => результат отрицателен.
• Для x > 1: 2^x - 1 > 0 и 2^(1-x) - 2^x + 1 > 0 (числитель положительный, знаменатель положительный) => результат положителен.

Шаг 6: Записываем ответ

Таким образом, неравенство (2^(1-x) - 2^x + 1) / (2^x - 1) < 0 выполняется на интервале:

(0, 1).