Как решить неравенство ( (2/(25x² + 40x + 7) + (25x² + 40x + 7)/2)² ≥ 4 ?

Алгебра 11 класс Неравенства решение неравенства алгебра 11 класс неравенства с дробями Квадратные неравенства методы решения неравенств Новый

Для решения неравенства ( (2/(25x² + 40x + 7) + (25x² + 40x + 7)/2)² ≥ 4 мы будем следовать нескольким шагам.

1. Упростим выражение внутри скобок:

Обозначим y = 25x² + 40x + 7. Тогда неравенство можно записать как:

((2/y) + (y/2))² ≥ 4
2. Приведем к общему знаменателю:

Общий знаменатель для дробей 2/y и y/2 будет 2y. Запишем:

(2/y) + (y/2) = (4 + y²) / 2y

3. Теперь подставим это обратно в неравенство:

Получаем:

(((4 + y²) / 2y)²) ≥ 4
4. Упростим неравенство:

Чтобы избавиться от квадрата, возьмем корень из обеих сторон (учитывая, что обе стороны не отрицательные):

((4 + y²) / 2y) ≥ 2
5. Умножим обе стороны на 2y (при условии, что y > 0):
4 + y² ≥ 4y
6. Переносим все в одну сторону:
y² - 4y + 4 ≥ 0
7. Факторизуем:
(y - 2)² ≥ 0

Это неравенство выполняется для всех y, так как квадрат любого числа не отрицателен.

8. Теперь вернемся к выражению для y:

Мы имеем:

25x² + 40x + 7 - 2 = 0
9. Решим квадратное уравнение:

Решение уравнения 25x² + 40x + 5 = 0 находим по формуле:

x = (-b ± √(b² - 4ac)) / 2a

где a = 25, b = 40, c = 5.

10. Подставим значения:
Δ = 40² - 4 * 25 * 5 = 1600 - 500 = 1100

Корни:

x = (-40 ± √1100) / 50
11. Получаем два корня:

После вычислений находим корни и определяем промежутки, где неравенство выполняется.

Таким образом, неравенство выполняется для всех x, которые удовлетворяют найденным корням. Проверьте значения, при которых y = 25x² + 40x + 7 не отрицательно, чтобы убедиться, что мы не потеряли возможные решения.