Как решить неравенство 2^(2x+1) - 5 * 2^x + 2 >= 0?

Алгебра 11 класс Неравенства с показательной функцией решение неравенства алгебра 11 класс неравенства с показательной функцией 2^(2x+1) - 5 * 2^x + 2 >= 0 методы решения неравенств Новый

Для решения неравенства 2^(2x+1) - 5 * 2^x + 2 >= 0, начнем с упрощения выражения. Обратите внимание, что 2^(2x+1) можно переписать как 2 * (2^x)^2. Это позволит нам сделать замену переменной:

• Пусть y = 2^x. Тогда 2^(2x) = y^2.

Теперь перепишем неравенство с новой переменной:

2 * y^2 - 5y + 2 >= 0.

Теперь мы имеем квадратное неравенство. Чтобы его решить, сначала найдем корни соответствующего квадратного уравнения:

• Решим уравнение 2y^2 - 5y + 2 = 0.

Используем формулу для нахождения корней квадратного уравнения:

• Корни уравнения находятся по формуле: y = (-b ± √(b² - 4ac)) / (2a), где a = 2, b = -5, c = 2.

Подставим значения a, b и c:

• Дискриминант: D = (-5)² - 4 * 2 * 2 = 25 - 16 = 9.
• Теперь находим корни:
• y₁ = (5 + √9) / (2 * 2) = (5 + 3) / 4 = 2.
• y₂ = (5 - √9) / (2 * 2) = (5 - 3) / 4 = 0.5.

Таким образом, корни уравнения: y₁ = 2 и y₂ = 0.5.

Теперь мы можем разложить квадратный трехчлен:

2y^2 - 5y + 2 = 2(y - 2)(y - 0.5).

Теперь вернемся к неравенству:

2(y - 2)(y - 0.5) >= 0.

Поскольку 2 > 0, знак неравенства не изменится, и можем рассмотреть неравенство:

(y - 2)(y - 0.5) >= 0.

Теперь определим промежутки, где произведение (y - 2)(y - 0.5) положительно или равно нулю. Для этого найдем точки, в которых произведение равно нулю:

• y = 2
• y = 0.5

Теперь рассмотрим промежутки:

• (-∞, 0.5)
• (0.5, 2)
• (2, +∞)

Теперь проверим знак произведения в каждом промежутке:

• В промежутке (-∞, 0.5): возьмем y = 0. Например, (0 - 2)(0 - 0.5) = (-2)(-0.5) > 0.
• В промежутке (0.5, 2): возьмем y = 1. Например, (1 - 2)(1 - 0.5) = (-1)(0.5) < 0.
• В промежутке (2, +∞): возьмем y = 3. Например, (3 - 2)(3 - 0.5) = (1)(2.5) > 0.

Таким образом, неравенство выполняется на промежутках:

• (-∞, 0.5) и (2, +∞).

Теперь вернемся к переменной y = 2^x:

1. Для y < 0.5: 2^x < 0.5, что невозможно, так как 2^x всегда положительно.

2. Для y >= 2: 2^x >= 2, что означает x >= 1.

Таким образом, окончательный ответ:

Решение неравенства: x >= 1.