Как решить неравенство (2x+1)/(x-3) < 1 с использованием метода интервалов?

Алгебра 11 класс Неравенства решение неравенства метод интервалов алгебра 11 класс неравенство (2x+1)/(x-3) < 1 алгебраические методы Новый

Чтобы решить неравенство (2x + 1) / (x - 3) < 1 с использованием метода интервалов, следуем следующим шагам:

Шаг 1: Приведем неравенство к общему виду.

Начнем с того, что перенесем 1 в левую часть неравенства:

(2x + 1) / (x - 3) - 1 < 0

Теперь найдем общий знаменатель:

(2x + 1) / (x - 3) - (x - 3) / (x - 3) < 0

Это можно записать как:

(2x + 1 - (x - 3)) / (x - 3) < 0

Упрощаем числитель:

(2x + 1 - x + 3) / (x - 3) < 0

(x + 4) / (x - 3) < 0

Шаг 2: Найдем нули числителя и знаменателя.

• Нули числителя: x + 4 = 0 ⇒ x = -4
• Нули знаменателя: x - 3 = 0 ⇒ x = 3

Шаг 3: Определим критические точки и интервалы.

Теперь у нас есть две критические точки: x = -4 и x = 3. Эти точки разделяют числовую прямую на три интервала:

• (-∞, -4)
• (-4, 3)
• (3, +∞)

Шаг 4: Проверим знак выражения (x + 4) / (x - 3) на каждом интервале.

1. Выберем точку из интервала (-∞, -4), например, x = -5:

(-5 + 4) / (-5 - 3) = (-1) / (-8) > 0

2. Выберем точку из интервала (-4, 3), например, x = 0:

(0 + 4) / (0 - 3) = 4 / (-3) < 0

3. Выберем точку из интервала (3, +∞), например, x = 4:

(4 + 4) / (4 - 3) = 8 / 1 > 0

Шаг 5: Запишем результат.

Теперь мы можем записать знаки на интервалах:

• (-∞, -4): > 0
• (-4, 3): < 0
• (3, +∞): > 0

Итак, неравенство (x + 4) / (x - 3) < 0 выполняется на интервале (-4, 3).

Шаг 6: Учтем ограничения.

Также помним, что x не может равняться 3, так как это приводит к делению на ноль. Поэтому окончательный ответ:

x ∈ (-4, 3).