Как решить неравенство 3^(1+x) · 2^(1-x) + 3^x · 2^(-x) ≤ 10,5, используя метод введения новой переменной?

Алгебра 11 класс Неравенства с показателями решение неравенства алгебра 11 класс метод новой переменной неравенства с показателями 3^(1+x) 2^(1-x) 3^x 2^(-x) математические методы алгебраические неравенства Новый

Чтобы решить неравенство 3^(1+x) · 2^(1-x) + 3^x · 2^(-x) ≤ 10,5, мы можем использовать метод введения новой переменной. Давайте разберем это шаг за шагом.

1. Введение новой переменной: Обозначим 3^x = a и 2^x = b. Таким образом, 3^(1+x) = 3^1 · 3^x = 3a и 2^(1-x) = 2^1 · 2^(-x) = 2/b. Теперь подставим эти выражения в неравенство.
2. Переписывание неравенства:
   • 3^(1+x) · 2^(1-x) = 3a · (2/b) = (3*2*a)/b = 6a/b
   • 3^x · 2^(-x) = a · (1/b) = a/b
   Теперь неравенство принимает вид: 6a/b + a/b ≤ 10,5.
3. Объединение дробей: (6a + a) / b ≤ 10,5 или 7a/b ≤ 10,5.
4. Умножение на b: Поскольку b = 2^x > 0, мы можем умножить обе стороны неравенства на b, не меняя знак неравенства: 7a ≤ 10,5b.
5. Подставляем значения a и b: Теперь подставим обратно a и b, получим: 7(3^x) ≤ 10,5(2^x).
6. Переписываем неравенство: 7*3^x ≤ 10,5*2^x.
7. Делим обе стороны на 2^x: Поскольку 2^x > 0, мы можем делить: 7*(3/2)^x ≤ 10,5.
8. Изолируем (3/2)^x: (3/2)^x ≤ 10,5/7. Посчитаем 10,5/7 = 1,5.
9. Логарифмируем обе стороны: x*log(3/2) ≤ log(1,5). Так как log(3/2) > 0, мы можем делить обе стороны на log(3/2): x ≤ log(1,5)/log(3/2).

Теперь вы можете вычислить значение x, используя логарифмы. Это и будет решением неравенства. Не забудьте проверить, соответствует ли найденное значение условиям задачи и неравенству.