Как решить неравенство: (3^{-1})^{x^2-4x-1} ≥ (3^2)^{x-1}?

Алгебра 11 класс Неравенства с показательной функцией решение неравенства алгебра 11 класс неравенства с показателями методы решения неравенств примеры неравенств Новый

Для решения неравенства (3^{-1})^{x^2-4x-1} ≥ (3^2)^{x-1} начнем с упрощения обеих сторон, используя свойства степеней.

Шаг 1: Преобразуем неравенство.

Сначала заметим, что (3^{-1})^{x^2-4x-1} можно записать как 3^{-(x^2-4x-1)}, а (3^2)^{x-1} можно записать как 3^{2(x-1)}. Таким образом, неравенство можно переписать в следующем виде:

3^{-(x^2-4x-1)} ≥ 3^{2(x-1)}.

Шаг 2: Убираем основание.

Так как основание 3 положительное, мы можем убрать степени, сохраняя знак неравенства:

-(x^2-4x-1) ≥ 2(x-1).

Шаг 3: Упростим неравенство.

Раскроем скобки:

• Слева: -x^2 + 4x + 1
• Справа: 2x - 2

Теперь у нас есть:

-x^2 + 4x + 1 ≥ 2x - 2.

Переносим все члены в одну сторону:

-x^2 + 4x + 1 - 2x + 2 ≥ 0.

Это можно упростить до:

-x^2 + 2x + 3 ≥ 0.

Шаг 4: Умножим на -1.

Умножив на -1, меняем знак неравенства:

x^2 - 2x - 3 ≤ 0.

Шаг 5: Найдем корни квадратного уравнения.

Решим уравнение x^2 - 2x - 3 = 0 с помощью дискриминанта:

• D = b^2 - 4ac = (-2)^2 - 4 * 1 * (-3) = 4 + 12 = 16.

Корни уравнения:

• x1 = (2 + √16) / 2 = (2 + 4) / 2 = 3.
• x2 = (2 - √16) / 2 = (2 - 4) / 2 = -1.

Шаг 6: Определим промежутки.

Теперь у нас есть корни x1 = 3 и x2 = -1. Рассмотрим знаки функции x^2 - 2x - 3 на промежутках:

• (-∞, -1): положительный
• (-1, 3): отрицательный
• (3, +∞): положительный

Функция меняет знак на корнях, и так как мы ищем, где функция меньше или равна нулю, то искомый промежуток будет:

Ответ: x ∈ [-1, 3].