Как решить неравенство: -4sin(3x/4+pi/4) > -2*sqrt(2)?

Алгебра 11 класс Неравенства с тригонометрическими функциями решение неравенств алгебра 11 класс тригонометрические неравенства sin неравенство математический анализ методы решения неравенств алгебраические методы подготовка к ЕГЭ Новый

Для решения неравенства -4sin(3x/4 + pi/4) > -2*sqrt(2), начнем с упрощения неравенства.

1. Переносим -2*sqrt(2) на левую сторону:

-4sin(3x/4 + pi/4) + 2*sqrt(2) > 0

2. Теперь умножим обе стороны неравенства на -1. Не забываем, что при умножении на отрицательное число знак неравенства меняется:

4sin(3x/4 + pi/4) < 2*sqrt(2)

3. Делим обе стороны на 4:

sin(3x/4 + pi/4) < (1/2)*sqrt(2)

4. Упрощаем правую часть:

(1/2)*sqrt(2) = sin(pi/4), поэтому:

sin(3x/4 + pi/4) < sin(pi/4)

5. Теперь мы можем решить неравенство. Поскольку синус - это периодическая функция, мы должны учитывать, что:
• sin(a) < sin(b) при a < b, если a и b находятся в пределах одного периода (например, [0, pi]).
• sin(a) < sin(b) также выполняется, если a > b и a, b находятся в пределах [pi, 2pi].
6. Теперь найдем границы:

3x/4 + pi/4 < pi/4, где 0 < 3x/4 < pi (первый период)

7. Решаем неравенство:

3x/4 < pi/4

x < pi/3

8. Теперь учитываем вторую часть:

3x/4 + pi/4 > pi/4, где pi/4 < 3x/4 < 5pi/4 (второй период)

9. Решаем неравенство:

3x/4 > 0

x > 0

10. Теперь объединим результаты:

0 < x < pi/3

11. Так как синус периодичен, добавим период 2pi:

0 + 2kpi < x < pi/3 + 2kpi, где k - целое число.

Таким образом, общее решение неравенства будет:

x ∈ (0 + 2kpi, pi/3 + 2kpi), где k - целое число.