Как решить неравенство 50 в степени x минус 2 умножить на 10 в степени x больше или равно 15 умножить на 2 в степени x?

Алгебра 11 класс Неравенства с показателями неравенство алгебра 11 класс решение неравенств степени математические задачи 50 в степени x 10 в степени x 2 в степени x больше или равно математический анализ Новый

Для решения неравенства 50^x - 2 * 10^x >= 15 * 2^x, начнем с того, что упростим выражение. Обратите внимание, что 50 можно выразить через 10 и 2:

• 50 = 5 * 10 = 5 * 2 * 5
• 10 = 10^1
• 2 = 2^1

Таким образом, 50^x можно записать как (5 * 10)^x = 5^x * 10^x. Подставим это в неравенство:

5^x * 10^x - 2 * 10^x >= 15 * 2^x

Теперь вынесем 10^x за скобки:

10^x (5^x - 2) >= 15 * 2^x

Теперь разделим обе стороны на 10^x, при условии, что 10^x > 0 (что верно для всех x):

5^x - 2 >= 15 * (2^x / 10^x)

Заметим, что 10^x = (2 * 5)^x = 2^x * 5^x. Таким образом, 2^x / 10^x = 2^x / (2^x * 5^x) = 1 / 5^x:

5^x - 2 >= 15 / 5^x

Теперь умножим обе стороны на 5^x (также при условии, что 5^x > 0):

(5^x - 2) * 5^x >= 15

Раскроем скобки:

5^(2x) - 2 * 5^x >= 15

Это неравенство можно записать в стандартной форме:

5^(2x) - 2 * 5^x - 15 >= 0

Теперь сделаем замену: пусть y = 5^x. Тогда неравенство примет вид:

y^2 - 2y - 15 >= 0

Теперь решим это квадратное неравенство. Для начала найдем корни уравнения y^2 - 2y - 15 = 0, используя дискриминант:

• D = b^2 - 4ac = (-2)^2 - 4 * 1 * (-15) = 4 + 60 = 64

Теперь находим корни:

• y1 = (2 + sqrt(64)) / 2 = (2 + 8) / 2 = 5
• y2 = (2 - sqrt(64)) / 2 = (2 - 8) / 2 = -3

Корни уравнения: y1 = 5 и y2 = -3. Так как y = 5^x, и 5^x всегда положительно, нас интересует только корень y1 = 5.

Теперь определим, когда неравенство y^2 - 2y - 15 >= 0 выполняется. Это происходит, когда y >= 5 или y <= -3. Поскольку y = 5^x, и 5^x всегда положительно, остаётся только:

5^x >= 5

Теперь решим это неравенство:

x >= 1

Таким образом, решением исходного неравенства является:

x >= 1