Для решения неравенства х^3 - 81х < 0 с помощью метода интервалов, следуем следующим шагам:

Сначала мы можем привести неравенство к стандартному виду:

х^3 - 81х < 0

Это можно записать как:

х^3 - 81х = 0

Решим уравнение х^3 - 81х = 0. Для этого вынесем общий множитель:

х(х^2 - 81) = 0

Теперь у нас есть произведение, равное нулю, что означает, что хотя бы один из множителей равен нулю:

• х = 0
• х^2 - 81 = 0

Решая второе уравнение, получаем:

• х^2 = 81
• х = ±9

Таким образом, корни уравнения: х = -9, х = 0, х = 9.

Теперь мы можем разбить числовую прямую на интервалы, используя найденные корни:

• (-∞, -9)
• (-9, 0)
• (0, 9)
• (9, +∞)

Теперь нам нужно выбрать тестовые точки из каждого интервала и подставить их в исходное неравенство х^3 - 81х:

• Для интервала (-∞, -9): выберем точку х = -10.
• Подставляем: (-10)^3 - 81(-10) = -1000 + 810 = -190. Это значение отрицательное.
• Для интервала (-9, 0): выберем точку х = -1.
• Подставляем: (-1)^3 - 81(-1) = -1 + 81 = 80. Это значение положительное.
• Для интервала (0, 9): выберем точку х = 1.
• Подставляем: (1)^3 - 81(1) = 1 - 81 = -80. Это значение отрицательное.
• Для интервала (9, +∞): выберем точку х = 10.
• Подставляем: (10)^3 - 81(10) = 1000 - 810 = 190. Это значение положительное.

Теперь мы можем записать, где неравенство х^3 - 81х < 0 выполняется:

• На интервале (-∞, -9) - значение отрицательное.
• На интервале (0, 9) - значение отрицательное.

Таким образом, решение неравенства:

х ∈ (-∞, -9) ∪ (0, 9).

Не забываем, что в корнях неравенство строгое (<), поэтому корни -9, 0 и 9 не включаются в решение.