Как решить неравенство (sin^2x + 3sinx) / cosx <= 0 с объяснением, пожалуйста?

Алгебра 11 класс Неравенства с тригонометрическими функциями решение неравенства алгебра 11 класс sin^2x cosX объяснение неравенств математика тригонометрические функции Новый

Для решения неравенства (sin^2x + 3sinx) / cosx > 0, начнем с анализа выражения. Мы можем разделить решение на несколько этапов:

1. Определим, когда числитель и знаменатель равны нулю:

• Числитель: sin^2x + 3sinx = 0
• Знаменатель: cosx = 0

Теперь решим каждое из этих уравнений.

2. Решение числителя:

sin^2x + 3sinx = 0 можно вынести общий множитель:

sinx(sinx + 3) = 0

• Первое уравнение: sinx = 0. Это происходит при x = kπ, где k - целое число.
• Второе уравнение: sinx + 3 = 0. Это уравнение не имеет решений, так как синус не может быть больше 1 или меньше -1.

3. Решение знаменателя:

cosx = 0. Это происходит при:

• x = (2k + 1)π/2, где k - целое число.

4. Определим знаки выражения:

Теперь нужно определить, при каких значениях x выражение (sin^2x + 3sinx) / cosx будет положительным. Для этого рассмотрим знаки числителя и знаменателя.

5. Интервалы:

Рассмотрим интервалы между точками, где sinx = 0 и cosx = 0. Эти точки делят числовую ось на несколько интервалов:

• (-∞, -π/2)
• (-π/2, 0)
• (0, π/2)
• (π/2, π)
• (π, 3π/2)
• (3π/2, 2π)

Теперь проверим знак выражения в каждом интервале:

• На интервале (-∞, -π/2): sinx < 0, cosx < 0, значит, (числитель)/(знаменатель) > 0.
• На интервале (-π/2, 0): sinx < 0, cosx > 0, значит, (числитель)/(знаменатель) < 0.
• На интервале (0, π/2): sinx > 0, cosx > 0, значит, (числитель)/(знаменатель) > 0.
• На интервале (π/2, π): sinx > 0, cosx < 0, значит, (числитель)/(знаменатель) < 0.
• На интервале (π, 3π/2): sinx < 0, cosx < 0, значит, (числитель)/(знаменатель) > 0.
• На интервале (3π/2, 2π): sinx < 0, cosx > 0, значит, (числитель)/(знаменатель) < 0.

6. Итог:

Таким образом, неравенство (sin^2x + 3sinx) / cosx > 0 выполняется на интервалах:

• (-∞, -π/2)
• (0, π/2)
• (π, 3π/2)

Необходимо помнить, что в точках, где cosx = 0, выражение не определено. Поэтому окончательный ответ:

x ∈ (-∞, -π/2) ∪ (0, π/2) ∪ (π, 3π/2).