Чтобы решить неравенство (x-1)(x+2)(x-4) < 0, следуем следующему алгоритму:

1. Найдем нули функции:

   Сначала определим, при каких значениях x произведение (x-1)(x+2)(x-4) равно нулю. Для этого решим уравнение:

   • x - 1 = 0 → x = 1
   • x + 2 = 0 → x = -2
   • x - 4 = 0 → x = 4

   Таким образом, нули функции: x = -2, x = 1, x = 4.

2. Определим интервалы:

   Теперь разделим числовую ось на интервалы, используя найденные нули:

   • (-∞, -2)
   • (-2, 1)
   • (1, 4)
   • (4, +∞)
3. Проверим знаки на каждом интервале:

   Теперь выберем тестовые точки из каждого интервала и подставим их в неравенство (x-1)(x+2)(x-4):

   • Для интервала (-∞, -2), возьмем x = -3:
     • (-3-1)(-3+2)(-3-4) = (-4)(-1)(-7) = -28 < 0 (отрицательное)
   • Для интервала (-2, 1), возьмем x = 0:
     • (0-1)(0+2)(0-4) = (-1)(2)(-4) = 8 > 0 (положительное)
   • Для интервала (1, 4), возьмем x = 2:
     • (2-1)(2+2)(2-4) = (1)(4)(-2) = -8 < 0 (отрицательное)
   • Для интервала (4, +∞), возьмем x = 5:
     • (5-1)(5+2)(5-4) = (4)(7)(1) = 28 > 0 (положительное)
4. Соберем результаты:

   Теперь мы можем записать, где произведение меньше нуля:

   • (-∞, -2) - отрицательное
   • (-2, 1) - положительное
   • (1, 4) - отрицательное
   • (4, +∞) - положительное

   Таким образом, неравенство (x-1)(x+2)(x-4) < 0 выполняется на интервалах:

   • (-∞, -2)
   • (1, 4)
5. Запишем окончательный ответ:

   Ответ: x ∈ (-∞, -2) ∪ (1, 4).