Как решить неравенство: (x^2 - 3x + 1)(x^2 - 3x - 3) ≥ 5?

Алгебра 11 класс Неравенства решение неравенств алгебра 11 класс неравенство с квадратными выражениями Новый

Для решения неравенства (x^2 - 3x + 1)(x^2 - 3x - 3) ≥ 5, начнем с переноса 5 в левую часть неравенства:

(x^2 - 3x + 1)(x^2 - 3x - 3) - 5 ≥ 0.

Теперь обозначим:

y = x^2 - 3x.

Тогда неравенство можно переписать как:

(y + 1)(y - 3) - 5 ≥ 0.

Раскроем скобки:

(y + 1)(y - 3) = y^2 - 2y - 3.

Теперь подставим это в неравенство:

y^2 - 2y - 3 - 5 ≥ 0.

Упрощаем:

y^2 - 2y - 8 ≥ 0.

Теперь решим квадратное неравенство y^2 - 2y - 8 = 0. Для этого найдем корни уравнения с помощью дискриминанта:

• Дискриминант D = b^2 - 4ac = (-2)^2 - 4 * 1 * (-8) = 4 + 32 = 36.
• Корни уравнения: y1 = (2 + √36) / 2 = (2 + 6) / 2 = 4 и y2 = (2 - √36) / 2 = (2 - 6) / 2 = -2.

Теперь у нас есть два корня: y1 = 4 и y2 = -2. Чтобы определить знаки выражения y^2 - 2y - 8, построим числовую прямую и отметим на ней корни:

Разобьем числовую прямую на интервалы:

• (-∞, -2)
• (-2, 4)
• (4, +∞)

Теперь проверим знак на каждом интервале:

• Для интервала (-∞, -2) возьмем, например, y = -3: (-3)^2 - 2*(-3) - 8 = 9 + 6 - 8 = 7 (положительное).
• Для интервала (-2, 4) возьмем y = 0: 0^2 - 2*0 - 8 = -8 (отрицательное).
• Для интервала (4, +∞) возьмем y = 5: 5^2 - 2*5 - 8 = 25 - 10 - 8 = 7 (положительное).

Таким образом, неравенство y^2 - 2y - 8 ≥ 0 выполняется на интервалах:

• (-∞, -2] и [4, +∞).

Теперь вернемся к переменной x:

Напомним, что y = x^2 - 3x. Теперь решим два неравенства:

1. x^2 - 3x ≤ -2:

Это неравенство можно переписать как x^2 - 3x + 2 ≤ 0.

Находим корни: x1 = 1, x2 = 2. Знак определяем так же, как и раньше:

• (-∞, 1) - положительное,
• (1, 2) - отрицательное,
• (2, +∞) - положительное.

Следовательно, x^2 - 3x + 2 ≤ 0 на интервале [1, 2].

2. x^2 - 3x ≥ 4:

Это неравенство можно переписать как x^2 - 3x - 4 ≥ 0.

Находим корни: x1 = -1, x2 = 4. Знак определяем:

• (-∞, -1) - положительное,
• (-1, 4) - отрицательное,
• (4, +∞) - положительное.

Следовательно, x^2 - 3x - 4 ≥ 0 на интервалах (-∞, -1] и [4, +∞).

Теперь объединим результаты:

Объединение интервалов:

• [1, 2] (из первого неравенства) и (-∞, -1] ∪ [4, +∞) (из второго неравенства).

Итак, окончательный ответ:

x ∈ (-∞, -1] ∪ [4, +∞).