Как решить неравенство: (x^2-4)/(x^2-9) ≥ 0?

Алгебра 11 класс Неравенства решение неравенства алгебра 11 класс неравенства с дробями (x^2-4)/(x^2-9) ≥ 0 методы решения неравенств график функции анализ знаков дроби Новый

Чтобы решить неравенство (x^2 - 4) / (x^2 - 9) ≥ 0, следуем следующим шагам:

Шаг 1: Найдем нули числителя и знаменателя.

Для начала определим, где числитель и знаменатель равны нулю.

• Числитель: x^2 - 4 = 0
• Решаем: x^2 = 4
• Следовательно, x = ±2.

• Знаменатель: x^2 - 9 = 0
• Решаем: x^2 = 9
• Следовательно, x = ±3.

Шаг 2: Определим промежутки.

Теперь у нас есть критические точки: -3, -2, 2 и 3. Эти точки разделяют числовую прямую на несколько промежутков:

• (-∞, -3)
• (-3, -2)
• (-2, 2)
• (2, 3)
• (3, +∞)

Шаг 3: Проверим знаки на каждом промежутке.

Выберем тестовые точки из каждого промежутка и подставим их в неравенство.

• Для промежутка (-∞, -3), возьмем x = -4:
• (-4^2 - 4) / (-4^2 - 9) = (16 - 4) / (16 - 9) = 12 / 7 > 0.
• Для промежутка (-3, -2), возьмем x = -2.5:
• (-2.5^2 - 4) / (-2.5^2 - 9) = (6.25 - 4) / (6.25 - 9) = 2.25 / -2.75 < 0.
• Для промежутка (-2, 2), возьмем x = 0:
• (0^2 - 4) / (0^2 - 9) = (-4) / (-9) = 4/9 > 0.
• Для промежутка (2, 3), возьмем x = 2.5:
• ((2.5)^2 - 4) / ((2.5)^2 - 9) = (6.25 - 4) / (6.25 - 9) = 2.25 / -2.75 < 0.
• Для промежутка (3, +∞), возьмем x = 4:
• ((4)^2 - 4) / ((4)^2 - 9) = (16 - 4) / (16 - 9) = 12 / 7 > 0.

Шаг 4: Запишем результат.

Теперь мы знаем, что:

• (-∞, -3) - положительный;
• (-3, -2) - отрицательный;
• (-2, 2) - положительный;
• (2, 3) - отрицательный;
• (3, +∞) - положительный.

Теперь нам нужно учесть, что мы ищем, где дробь больше или равна нулю. Это означает, что мы включаем промежутки, где дробь положительна, а также точки, где числитель равен нулю (x = -2 и x = 2), но исключаем точки, где знаменатель равен нулю (x = -3 и x = 3).

Итак, окончательный ответ:

x ∈ (-∞, -3) ∪ [-2, 2] ∪ (3, +∞).