Как решить неравенство (x^2*(4-x))/(x^2-10*x+25) <= 0?

Алгебра 11 класс Неравенства решение неравенства алгебра 11 класс неравенства дробно-рациональное неравенство методы решения неравенств Новый

Для решения неравенства (x^2*(4-x))/(x^2-10*x+25) > 0 нужно выполнить несколько шагов. Давайте разберем их подробно.

Шаг 1: Определим область определения.

Сначала мы должны выяснить, при каких значениях x дробь определена. Дробь будет неопределена, если знаменатель равен нулю.

Знаменатель: x^2 - 10x + 25. Это можно упростить:

x^2 - 10x + 25 = (x - 5)^2.

Таким образом, знаменатель равен нулю, когда x - 5 = 0, то есть x = 5.

Следовательно, область определения: x ≠ 5.

Шаг 2: Найдем нули числителя и знаменателя.

Числитель: x^2*(4-x).

• Нули числителя находятся, когда x^2 = 0 или 4 - x = 0.
• Решая x^2 = 0, получаем x = 0.
• Решая 4 - x = 0, получаем x = 4.

Таким образом, нули числителя: x = 0 и x = 4.

Знаменатель: (x - 5)^2. Он равен нулю, когда x = 5.

Шаг 3: Определим знаки дроби на интервалах.

Теперь мы определим знаки выражения на интервалах, которые получаются из найденных нулей и точки, где дробь неопределена. У нас есть следующие интервалы:

• (-∞, 0)
• (0, 4)
• (4, 5)
• (5, +∞)

Теперь проверим знак дроби на каждом интервале:

1. Для интервала (-∞, 0): выберем x = -1. Подставляем в дробь:

(-1)^2 * (4 - (-1)) / ((-1)^2 - 10*(-1) + 25) = 1 * 5 / (1 + 10 + 25) = 5 / 36 > 0. Знак положительный.

2. Для интервала (0, 4): выберем x = 2. Подставляем:

(2)^2 * (4 - 2) / ((2)^2 - 10*2 + 25) = 4 * 2 / (4 - 20 + 25) = 8 / 9 > 0. Знак положительный.

3. Для интервала (4, 5): выберем x = 4.5. Подставляем:

(4.5)^2 * (4 - 4.5) / ((4.5)^2 - 10*4.5 + 25) = 20.25 * (-0.5) / (20.25 - 45 + 25) = -10.125 / 0.25 < 0. Знак отрицательный.

4. Для интервала (5, +∞): выберем x = 6. Подставляем:

(6)^2 * (4 - 6) / ((6)^2 - 10*6 + 25) = 36 * (-2) / (36 - 60 + 25) = -72 / 1 < 0. Знак отрицательный.

Шаг 4: Составим ответ.

Теперь, когда мы определили знаки дроби на интервалах, мы можем записать ответ для неравенства (x^2*(4-x))/(x^2-10*x+25) > 0.

Дробь положительна на интервалах (-∞, 0) и (0, 4).

Таким образом, окончательный ответ:

x ∈ (-∞, 0) ∪ (0, 4).