Как решить неравенство (X-7) (x-1) (x-4) < 0 методом интервала?

Алгебра 11 класс Неравенства Новый

Решение неравенства (X-7)(X-1)(X-4) < 0 методом интервала включает несколько последовательных шагов. Давайте рассмотрим их более подробно.

Шаг 1: Найти корни уравнения

Сначала необходимо определить корни соответствующего уравнения (X-7)(X-1)(X-4) = 0. Для этого приравняем каждое множитель к нулю:

• X - 7 = 0 → X = 7
• X - 1 = 0 → X = 1
• X - 4 = 0 → X = 4

Таким образом, корни уравнения: X = 1, X = 4, X = 7.

Шаг 2: Определить интервалы

Теперь, когда мы нашли корни, мы можем разделить числовую прямую на интервалы. Корни делят прямую на следующие интервалы:

• (-∞, 1)
• (1, 4)
• (4, 7)
• (7, +∞)

Шаг 3: Проверка знака на каждом интервале

Теперь нужно выбрать любое число из каждого интервала и подставить его в неравенство (X-7)(X-1)(X-4) < 0, чтобы определить знак произведения.

1. Для интервала (-∞, 1): выберем X = 0.

   (0-7)(0-1)(0-4) = (-7)(-1)(-4) = -28 < 0. Знак отрицательный.

2. Для интервала (1, 4): выберем X = 2.

   (2-7)(2-1)(2-4) = (-5)(1)(-2) = 10 > 0. Знак положительный.

3. Для интервала (4, 7): выберем X = 5.

   (5-7)(5-1)(5-4) = (-2)(4)(1) = -8 < 0. Знак отрицательный.

4. Для интервала (7, +∞): выберем X = 8.

   (8-7)(8-1)(8-4) = (1)(7)(4) = 28 > 0. Знак положительный.

Шаг 4: Записать решение

Теперь мы можем подвести итог. Мы ищем те интервалы, где произведение меньше нуля:

• (-∞, 1) → знак отрицательный
• (1, 4) → знак положительный
• (4, 7) → знак отрицательный
• (7, +∞) → знак положительный

Таким образом, неравенство (X-7)(X-1)(X-4) < 0 выполняется на интервалах:

• (-∞, 1)
• (4, 7)

Шаг 5: Учитывать корни

Так как неравенство строгое (< 0), корни (X = 1, X = 4, X = 7) не включаются в решение. Поэтому окончательный ответ:

X ∈ (-∞, 1) ∪ (4, 7).