Как решить неравенство: x²(1-x)/(x²-4x+4) меньше или равно 0?

Алгебра 11 класс Неравенства решение неравенства алгебра 11 класс x²(1-x)/(x²-4x+4) меньше или равно 0 неравенства в алгебре алгебраические выражения методы решения неравенств Новый

Для решения неравенства x²(1-x)/(x²-4x+4) ≤ 0 мы будем следовать нескольким шагам. Давайте разберем это неравенство по частям.

1. Упрощение выражения:

   Сначала упростим знаменатель. Мы видим, что x² - 4x + 4 можно представить как (x-2)². Таким образом, неравенство можно переписать как:

   x²(1-x)/((x-2)²) ≤ 0

2. Определение нулей числителя и знаменателя:

   Теперь найдем, где числитель и знаменатель равны нулю:

   • Числитель: x²(1-x) = 0
     • Это произведение равно нулю, когда x² = 0 или 1-x = 0.
     • Решения: x = 0 и x = 1.
   • Знаменатель: (x-2)² = 0
     • Это выражение равно нулю, когда x - 2 = 0, то есть x = 2.
3. Построение числовой прямой:

   Теперь мы имеем три критических точки: x = 0, x = 1 и x = 2. Построим числовую прямую и отметим эти точки:

   ---|---|---|---

   ...0...1...2...

4. Тестирование промежутков:

   Теперь проверим знак выражения в каждом из промежутков:

   • Для x < 0 (например, x = -1):
     • Числитель: (-1)²(1 - (-1)) = 2 > 0
     • Знаменатель: ((-1 - 2)²) = 9 > 0
     • Результат: положительный
   • Для 0 < x < 1 (например, x = 0.5):
     • Числитель: (0.5)²(1 - 0.5) = 0.25 * 0.5 = 0.125 > 0
     • Знаменатель: ((0.5 - 2)²) = 2.25 > 0
     • Результат: положительный
   • Для 1 < x < 2 (например, x = 1.5):
     • Числитель: (1.5)²(1 - 1.5) = 2.25 * (-0.5) = -1.125 < 0
     • Знаменатель: ((1.5 - 2)²) = 0.25 > 0
     • Результат: отрицательный
   • Для x > 2 (например, x = 3):
     • Числитель: (3)²(1 - 3) = 9 * (-2) = -18 < 0
     • Знаменатель: ((3 - 2)²) = 1 > 0
     • Результат: отрицательный
5. Сбор информации:

   Теперь мы можем собрать информацию о знаках:

   • x < 0: положительный
   • 0 < x < 1: положительный
   • 1 < x < 2: отрицательный
   • x > 2: отрицательный
6. Запись решения:

   Теперь мы можем записать решение неравенства. Учитывая, что мы ищем, где выражение меньше или равно нулю:

   Решение: [1, 2) (включая 1, исключая 2, так как при x = 2 знаменатель равен 0 и неравенство не выполняется).

Таким образом, окончательный ответ: [1, 2).