Как решить неравенство: x²(3-x) ≤ x²-8x+16?

Алгебра 11 класс Неравенства решение неравенства алгебра 11 класс x²(3-x) ≤ x²-8x+16 неравенства в алгебре методы решения неравенств Новый

Чтобы решить неравенство x²(3-x) ≤ x² - 8x + 16, давайте следовать пошагово.

Шаг 1: Перенос всех членов на одну сторону неравенства.

Сначала перенесем все члены из правой части в левую:

• x²(3-x) - (x² - 8x + 16) ≤ 0

Шаг 2: Упрощение выражения.

Теперь упростим левую часть:

• x²(3-x) = 3x² - x³
• Таким образом, у нас получается: 3x² - x³ - x² + 8x - 16 ≤ 0
• Соберем подобные члены:
• -x³ + 2x² + 8x - 16 ≤ 0
• Умножим неравенство на -1 (не забываем изменить знак неравенства):
• x³ - 2x² - 8x + 16 ≥ 0

Шаг 3: Нахождение корней кубического уравнения.

Теперь нам нужно найти корни уравнения x³ - 2x² - 8x + 16 = 0. Для этого можем использовать метод подбора или теорему о рациональных корнях.

• Пробуем x = 2:
• 2³ - 2(2)² - 8(2) + 16 = 8 - 8 - 16 + 16 = 0
• Таким образом, x = 2 является корнем.

Шаг 4: Деление многочлена на (x - 2).

Теперь мы можем разделить наш многочлен на (x - 2) с помощью деления многочленов:

• При делении x³ - 2x² - 8x + 16 на (x - 2) получаем:
• x² - 8

Таким образом, мы можем записать:

• x³ - 2x² - 8x + 16 = (x - 2)(x² - 8)

Шаг 5: Нахождение корней второго множителя.

Теперь найдем корни уравнения x² - 8 = 0:

• x² = 8
• x = ±√8 = ±2√2

Шаг 6: Определение знаков выражения.

Теперь у нас есть корни: x = 2, x = 2√2 и x = -2√2. Эти корни разбивают числовую прямую на интервалы:

• (-∞, -2√2)
• (-2√2, 2)
• (2, 2√2)
• (2√2, +∞)

Теперь проверим знак на каждом из интервалов, подставляя значения из каждого интервала в выражение (x - 2)(x² - 8).

Шаг 7: Проверка интервалов.

1. Для x < -2√2 (например, x = -3): (-)(-) = + (положительный)
2. Для -2√2 < x < 2 (например, x = 0): (-)(-) = + (положительный)
3. Для 2 < x < 2√2 (например, x = 2.5): (+)(-) = - (отрицательный)
4. Для x > 2√2 (например, x = 3): (+)(+) = + (положительный)

Шаг 8: Запись решения неравенства.

Теперь мы знаем, что выражение (x - 2)(x² - 8) ≥ 0 на интервалах:

• (-∞, -2√2) ∪ (-2√2, 2) ∪ (2√2, +∞)

Неравенство выполняется в этих интервалах, включая точки, где выражение равно нулю:

• x = -2√2, x = 2, x = 2√2

Итак, окончательное решение:

x ∈ (-∞, -2√2] ∪ [-2√2, 2] ∪ [2, 2√2] ∪ [2√2, +∞)