Как решить показательное уравнение 4 в степени x + 2 в степени x + 1 - 8 > 0?

Алгебра 11 класс Показательные уравнения показательное уравнение решение уравнения алгебра 11 класс неравенство методы решения математические задачи Новый

Чтобы решить неравенство 4 в степени x + 2 в степени x + 1 - 8 > 0, начнем с упрощения его.

Первым шагом заметим, что 4 в степени x можно выразить через 2 в степени x:

• 4 в степени x = (2 в степени 2) в степени x = (2 в степени x) в степени 2 = (2 в степени x)^2.

Обозначим 2 в степени x как y, тогда у нас получится:

• 4 в степени x = y^2.
• 2 в степени x = y.

Подставим это в наше неравенство:

• y^2 + y + 1 - 8 > 0.

Теперь упростим это уравнение:

• y^2 + y - 7 > 0.

Теперь мы можем решить квадратное неравенство. Для этого найдем корни соответствующего квадратного уравнения:

• y^2 + y - 7 = 0.

Используем формулу для нахождения корней квадратного уравнения:

• y = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / 2a, где a = 1, b = 1, c = -7.

Подставим значения:

• D = 1^2 - 4 * 1 * (-7) = 1 + 28 = 29.
• y = (-1 ± √29) / 2.

Теперь найдем два корня:

• y1 = (-1 + √29) / 2,
• y2 = (-1 - √29) / 2.

Корень y2 будет отрицательным, так как √29 > 5, следовательно, (-1 - √29) / 2 < 0. Поскольку y = 2 в степени x, то y всегда положительно. Поэтому нас интересует только корень y1.

Теперь мы можем перейти к исследованию знаков выражения y^2 + y - 7. Мы знаем, что парабола открыта вверх (так как коэффициент при y^2 положителен) и имеет два корня. Следовательно, неравенство y^2 + y - 7 > 0 будет выполняться вне интервала между корнями:

• y < (-1 - √29) / 2 или y > (-1 + √29) / 2.

Так как y = 2 в степени x, нам нужно решить два неравенства:

• 2^x < (-1 - √29) / 2 — это неравенство не имеет решения, так как 2^x всегда положительно.
• 2^x > (-1 + √29) / 2.

Теперь найдем значение (-1 + √29) / 2. Приблизительно это равно 1.19. Следовательно, нам нужно решить неравенство:

• 2^x > 1.19.

Чтобы решить это неравенство, возьмем логарифм по основанию 2:

• x > log2(1.19).

Теперь можем найти значение логарифма. Приблизительно это будет:

• x > 0.263.

Таким образом, окончательный ответ на неравенство 4 в степени x + 2 в степени x + 1 - 8 > 0:

• x > log2(1.19) ≈ 0.263.

Или в более точном виде:

• x > (-1 + √29) / 2 * log2(2).