Как решить показательное уравнение 5 в степени x плюс 125 умножить на 5 в степени минус x равно 30?

Алгебра 11 класс Показательные уравнения решение показательного уравнения алгебра 11 класс уравнение 5 в степени x метод решения уравнений показательные функции Новый

Для решения уравнения 5^x + 125 * 5^(-x) = 30 начнем с упрощения его. Обратите внимание, что 125 можно представить как 5^3. Таким образом, уравнение можно переписать следующим образом:

5^x + 5^3 * 5^(-x) = 30

Теперь воспользуемся свойством степеней: 5^3 * 5^(-x) = 5^(3 - x). Подставим это в уравнение:

5^x + 5^(3 - x) = 30

Теперь введем замену: пусть y = 5^x. Тогда 5^(3 - x) = 5^3 / 5^x = 125 / y. Подставим это в уравнение:

y + 125/y = 30

Теперь умножим обе стороны уравнения на y (при условии, что y ≠ 0):

y^2 + 125 = 30y

Перепишем уравнение в стандартной форме:

y^2 - 30y + 125 = 0

Теперь применим формулу дискриминанта для решения квадратного уравнения:

D = b^2 - 4ac, где a = 1, b = -30, c = 125.

Подставим значения:

D = (-30)^2 - 4 * 1 * 125 = 900 - 500 = 400

Теперь найдем корни уравнения по формуле:

y = (-b ± √D) / (2a)

Подставим значения:

y = (30 ± √400) / 2 = (30 ± 20) / 2

Теперь найдем два корня:

1. y1 = (30 + 20) / 2 = 50 / 2 = 25
2. y2 = (30 - 20) / 2 = 10 / 2 = 5

Теперь вернемся к нашей замене y = 5^x.

Для первого корня:

5^x = 25 ⇒ x = 2 (так как 25 = 5^2)

Для второго корня:

5^x = 5 ⇒ x = 1 (так как 5 = 5^1)

Таким образом, у нас есть два решения уравнения:

• x = 2
• x = 1

Ответ: x = 1 и x = 2.