Как решить показательное уравнение: 9^(x^2-1) - 36 × 3^(x^2-3) + 3 = 0?

Алгебра 11 класс Показательные уравнения решение показательного уравнения алгебра 11 класс 9^(x^2-1) 36 × 3^(x^2-3) метод решения уравнений Новый

Для решения показательного уравнения 9^(x^2-1) - 36 × 3^(x^2-3) + 3 = 0 начнем с преобразования его в более удобный вид.

Первым шагом заметим, что 9 можно выразить через 3:

• 9 = 3^2, следовательно, 9^(x^2-1) = (3^2)^(x^2-1) = 3^(2(x^2-1)) = 3^(2x^2 - 2).

Теперь перепишем уравнение, подставив это выражение:

3^(2x^2 - 2) - 36 × 3^(x^2 - 3) + 3 = 0

Обратите внимание, что 36 = 3^2 × 4, и мы можем упростить второе слагаемое:

• 36 × 3^(x^2 - 3) = 3^2 × 4 × 3^(x^2 - 3) = 4 × 3^(x^2 - 1).

Теперь у нас есть:

3^(2x^2 - 2) - 4 × 3^(x^2 - 1) + 3 = 0

Теперь сделаем замену переменной. Пусть y = 3^(x^2 - 1). Тогда:

• 3^(2x^2 - 2) = (3^(x^2 - 1))^2 = y^2.
• 4 × 3^(x^2 - 1) = 4y.

Таким образом, уравнение принимает вид:

y^2 - 4y + 3 = 0

Теперь решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта:

• Дискриминант D = b^2 - 4ac = (-4)^2 - 4 × 1 × 3 = 16 - 12 = 4.

Так как D > 0, у уравнения два различных корня:

• y1 = (4 + √4) / 2 = (4 + 2) / 2 = 3,
• y2 = (4 - √4) / 2 = (4 - 2) / 2 = 1.

Теперь вернемся к переменной y:

• Для y1 = 3: 3^(x^2 - 1) = 3. Это означает, что x^2 - 1 = 1, следовательно, x^2 = 2, и x = ±√2.
• Для y2 = 1: 3^(x^2 - 1) = 1. Это означает, что x^2 - 1 = 0, следовательно, x^2 = 1, и x = ±1.

Таким образом, все решения уравнения:

x = ±√2, ±1.