Как решить систему уравнений:

1. sin(x-y) = 2sin(x)sin(y)
2. x + y = π/2

Алгебра 11 класс Системы тригонометрических уравнений решение системы уравнений алгебра 11 класс синус уравнения тригонометрические функции методы решения уравнений Новый

Для решения данной системы уравнений мы будем использовать известные тригонометрические тождества и свойства. Давайте рассмотрим оба уравнения по отдельности.

Шаг 1: Анализ первого уравнения

Первое уравнение имеет вид:

sin(x - y) = 2sin(x)sin(y)

Согласно тригонометрическим тождествам, мы можем выразить левую часть уравнения:

sin(x - y) = sin(x)cos(y) - cos(x)sin(y)

Таким образом, у нас получается:

sin(x)cos(y) - cos(x)sin(y) = 2sin(x)sin(y)

Перепишем это уравнение:

sin(x)cos(y) - 2sin(x)sin(y) - cos(x)sin(y) = 0

Теперь выделим общий множитель:

sin(x)(cos(y) - 2sin(y)) - cos(x)sin(y) = 0

Шаг 2: Использование второго уравнения

Теперь рассмотрим второе уравнение:

x + y = π/2

Из этого уравнения мы можем выразить y:

y = π/2 - x

Теперь подставим это значение в первое уравнение.

Шаг 3: Подстановка значения y

Подставим y в первое уравнение:

sin(x - (π/2 - x)) = 2sin(x)sin(π/2 - x)

Упрощаем левую часть:

sin(2x - π/2) = 2sin(x)cos(x)

Используем тождество для синуса:

sin(2x - π/2) = -cos(2x)

Таким образом, у нас получается:

-cos(2x) = 2sin(x)cos(x)

Согласно тождеству для синуса, 2sin(x)cos(x) = sin(2x), заменим это в уравнении:

-cos(2x) = sin(2x)

Шаг 4: Решение полученного уравнения

Теперь у нас есть уравнение:

sin(2x) + cos(2x) = 0

Это можно переписать как:

tan(2x) = -1

Решение этого уравнения можно найти следующим образом:

• 2x = 3π/4 + kπ, где k - целое число
• или 2x = 7π/4 + kπ

Теперь делим на 2:

• x = 3π/8 + kπ/2
• или x = 7π/8 + kπ/2

Шаг 5: Находим y

Теперь подставим найденные значения x в уравнение y = π/2 - x:

• Если x = 3π/8 + kπ/2, то y = π/2 - (3π/8 + kπ/2) = π/8 - kπ/2
• Если x = 7π/8 + kπ/2, то y = π/2 - (7π/8 + kπ/2) = -3π/8 - kπ/2

Шаг 6: Запись окончательных решений

Таким образом, решения системы уравнений можно записать в виде:

• (x, y) = (3π/8 + kπ/2, π/8 - kπ/2), k - целое число
• (x, y) = (7π/8 + kπ/2, -3π/8 - kπ/2), k - целое число

Это и есть все возможные решения данной системы уравнений.