Как решить следующие уравнения по алгебре?

1. 3.logx^2(16)+log2x(64)= 3
2. 4.3^(log3(x))^2+x^log3(x)=162

Алгебра 11 класс Логарифмы и экспоненты решение уравнений по алгебре логарифмические уравнения алгебра 11 класс уравнения с логарифмами сложные уравнения алгебры Новый

Давайте разберем оба уравнения по очереди.

Уравнение 1: 3.log_x^2(16) + log_2x(64) = 3

1. Сначала упростим первое слагаемое. Используем свойство логарифмов: log_a(b) = log_c(b) / log_c(a). Таким образом, log_x^2(16) можно записать как log₂(16) / log₂(x^2).
2. Зная, что log₂(16) = 4 (поскольку 2^4 = 16), получаем: log_x^2(16) = 4 / (2 * log₂(x)) = 2 / log₂(x).
3. Теперь подставим это в уравнение: 3 * (2 / log₂(x)) + log_2x(64) = 3.
4. Упростим второе слагаемое: log_2x(64) = log₂(64) / log₂(2x) = 6 / (1 + log₂(x)), так как log₂(64) = 6.
5. Теперь уравнение выглядит так: 6 / log₂(x) + 6 / (1 + log₂(x)) = 3.
6. Умножим все уравнение на log₂(x)(1 + log₂(x)) для избавления от дробей:
7. 6(1 + log₂(x)) + 6 * log₂(x) = 3 * log₂(x)(1 + log₂(x)).
8. После упрощения получим квадратное уравнение относительно log₂(x). Решим его и найдем значение x.

Уравнение 2: 4.3^(log₃(x))^2 + x^log₃(x) = 162

1. Обозначим log₃(x) = t. Тогда x = 3^t.
2. Подставим это в уравнение: 4 * 3^(t^2) + (3^t)^t = 162.
3. Упростим второе слагаемое: (3^t)^t = 3^(t^2).
4. Теперь у нас есть: 4 * 3^(t^2) + 3^(t^2) = 162.
5. Соберем подобные: 5 * 3^(t^2) = 162.
6. Теперь выразим 3^(t^2): 3^(t^2) = 162 / 5.
7. Преобразуем: 3^(t^2) = 32.4.
8. Теперь применим логарифм: t^2 = log₃(32.4).
9. Решим это уравнение для t, а затем вернемся к x, используя x = 3^t.

Таким образом, мы разобрали оба уравнения и описали шаги для их решения. Если у вас есть вопросы по конкретным шагам, не стесняйтесь спрашивать!