Как решить уравнение: √(1 + 4x - x²) = x - 1? Прошу описать все шаги подробно.

Алгебра 11 класс Уравнения с корнями решение уравнения уравнение с корнем алгебра 11 класс шаги решения уравнения квадратное уравнение математические методы решение корня алгебраические преобразования Новый

Чтобы решить уравнение √(1 + 4x - x²) = x - 1, следуем следующим шагам:

Шаг 1: Определим область допустимых значений.

Сначала нужно убедиться, что обе стороны уравнения определены. Поскольку у нас есть квадратный корень, подкоренное выражение должно быть неотрицательным:

• 1 + 4x - x² ≥ 0.

Это неравенство можно переписать в стандартном виде:

• -x² + 4x + 1 ≥ 0.

Умножим неравенство на -1 (не забываем поменять знак):

• x² - 4x - 1 ≤ 0.

Шаг 2: Найдем корни квадратного уравнения.

Для этого используем формулу корней квадратного уравнения:

• x = (4 ± √(16 + 4)) / 2 = (4 ± √20) / 2 = 2 ± √5.

Таким образом, корни уравнения: x1 = 2 + √5 и x2 = 2 - √5.

Шаг 3: Определим интервал, где неравенство выполняется.

Теперь мы имеем корни 2 - √5 и 2 + √5. Эти корни делят числовую прямую на три интервала:

• (-∞, 2 - √5)
• (2 - √5, 2 + √5)
• (2 + √5, +∞)

Теперь проверим знак неравенства на каждом из интервалов. Например, подберем тестовые точки:

• Для интервала (-∞, 2 - √5) возьмем x = 0: 0² - 4*0 - 1 = -1 (≤ 0, выполняется)
• Для интервала (2 - √5, 2 + √5) возьмем x = 2: 2² - 4*2 - 1 = -1 (≤ 0, выполняется)
• Для интервала (2 + √5, +∞) возьмем x = 5: 5² - 4*5 - 1 = 6 (> 0, не выполняется)

Таким образом, область допустимых значений: x ≤ 2 + √5 и x ≥ 2 - √5.

Шаг 4: Возводим обе стороны уравнения в квадрат.

Теперь, когда мы знаем, что обе стороны определены, возведем обе стороны уравнения в квадрат:

• 1 + 4x - x² = (x - 1)².

Раскроем правую часть:

• 1 + 4x - x² = x² - 2x + 1.

Шаг 5: Приведем уравнение к стандартному виду.

Переносим все члены в одну сторону:

• 1 + 4x - x² - x² + 2x - 1 = 0.
• -2x² + 6x = 0.

Упростим уравнение:

• 2x(3 - x) = 0.

Шаг 6: Найдем корни уравнения.

Теперь у нас есть два корня:

• x = 0;
• x = 3.

Шаг 7: Проверим найденные корни на допустимость.

Теперь нужно проверить, подходят ли эти корни под условия области допустимых значений:

• Для x = 0: 0 ≥ 2 - √5 (выполняется, так как 2 - √5 ≈ -0.236).
• Для x = 3: 3 ≤ 2 + √5 (выполняется, так как 2 + √5 ≈ 4.236).

Шаг 8: Запишем окончательный ответ.

Таким образом, решения уравнения: x = 0 и x = 3.