Как решить уравнение 1/ctg^2x - 1/sin(пи/2-x)=1? Пожалуйста, объясните решение понятным языком ;)

Алгебра 11 класс Тригонометрические функции решение уравнения алгебра Тригонометрия ctg sin математические уравнения объяснение решения понятный язык помощь по алгебре Новый

Давайте разберем данное уравнение шаг за шагом. У нас есть уравнение:

1/ctg^2(x) - 1/sin(π/2 - x) = 1

Первое, что мы можем сделать, это упростить выражение. Напомним, что ctg(x) (котангенс) равен cos(x)/sin(x). Таким образом, ctg^2(x) будет равно cos^2(x)/sin^2(x).

Теперь, если подставить это в уравнение, мы получим:

1/(cos^2(x)/sin^2(x)) - 1/sin(π/2 - x) = 1

Мы знаем, что sin(π/2 - x) = cos(x). Подставим это значение в уравнение:

1/(cos^2(x)/sin^2(x)) - 1/cos(x) = 1

Теперь упростим первое слагаемое:

sin^2(x)/cos^2(x) - 1/cos(x) = 1

Теперь умножим все уравнение на cos^2(x), чтобы избавиться от дробей:

sin^2(x) - cos(x) = cos^2(x)

Теперь мы можем использовать тождество sin^2(x) + cos^2(x) = 1, чтобы выразить sin^2(x) через cos^2(x):

sin^2(x) = 1 - cos^2(x)

Подставим это в уравнение:

(1 - cos^2(x)) - cos(x) = cos^2(x)

Упрощаем уравнение:

1 - cos^2(x) - cos(x) - cos^2(x) = 0

Соберем все в одно уравнение:

1 - 2cos^2(x) - cos(x) = 0

Теперь это квадратное уравнение относительно cos(x). Обозначим y = cos(x), тогда уравнение принимает вид:

2y^2 + y - 1 = 0

Теперь решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта:

D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4 * 2 * (-1) = 1 + 8 = 9

Теперь найдем корни уравнения:

y1 = (-b + sqrt(D))/(2a) = (-1 + 3)/4 = 1/2

y2 = (-b - sqrt(D))/(2a) = (-1 - 3)/4 = -1

Теперь у нас есть два значения для cos(x): 1/2 и -1.

Теперь найдем соответствующие значения x:

• cos(x) = 1/2: это происходит, когда x = π/3 + 2kπ или x = 5π/3 + 2kπ, где k - целое число.
• cos(x) = -1: это происходит, когда x = π + 2kπ, где k - целое число.

Таким образом, общее решение уравнения:

x = π/3 + 2kπ, x = 5π/3 + 2kπ, x = π + 2kπ, где k - целое число.

Надеюсь, это объяснение было понятным и помогло вам разобраться с решением уравнения!