Как решить уравнение (1+sinx)(1+cosx)=1+sinx+cosx и определить корни, которые находятся в отрезке [0;2П]?

Алгебра 11 класс Уравнения с тригонометрическими функциями решение уравнения корни уравнения алгебра 11 класс тригонометрические функции отрезок [0;2П] синус косинус математический анализ Новый

Для решения уравнения (1 + sin(x))(1 + cos(x)) = 1 + sin(x) + cos(x) начнем с его преобразования.

Шаг 1: Раскроем скобки с левой стороны уравнения.

• (1 + sin(x))(1 + cos(x)) = 1 + cos(x) + sin(x) + sin(x)cos(x)

Теперь у нас есть следующее уравнение:

1 + cos(x) + sin(x) + sin(x)cos(x) = 1 + sin(x) + cos(x)

Шаг 2: Упростим уравнение.

• Сократим обе стороны на 1:
• cos(x) + sin(x) + sin(x)cos(x) = sin(x) + cos(x)

Теперь, если мы вычтем (sin(x) + cos(x)) из обеих сторон, получаем:

sin(x)cos(x) = 0

Шаг 3: Решим уравнение sin(x)cos(x) = 0.

Это произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю. Поэтому мы рассматриваем два случая:

• Случай 1: sin(x) = 0
• Случай 2: cos(x) = 0

Случай 1: sin(x) = 0.

Синус равен нулю в точках:

• x = 0
• x = π
• x = 2π

Случай 2: cos(x) = 0.

Косинус равен нулю в точках:

• x = π/2
• x = 3π/2

Шаг 4: Соберем все корни в отрезке [0; 2π].

Теперь мы можем собрать все найденные корни:

• x = 0
• x = π/2
• x = π
• x = 3π/2
• x = 2π

Таким образом, корни уравнения (1 + sin(x))(1 + cos(x)) = 1 + sin(x) + cos(x) на отрезке [0; 2π] следующие:

• x = 0
• x = π/2
• x = π
• x = 3π/2
• x = 2π