Как решить уравнение (16^sinx)^cosx=(1/4)^корень из3 sinx?

Алгебра 11 класс Уравнения с тригонометрическими функциями решение уравнения алгебра 11 класс тригонометрические функции синус косинус уравнение с корнем exponentiation equations математические задачи Новый

Чтобы решить уравнение (16^sinx)^cosx=(1/4)^корень из3 sinx, давайте начнем с упрощения обеих сторон уравнения.

Первое, что мы можем сделать, это переписать 16 и 1/4 в виде степеней 2:

• 16 = 2^4, поэтому 16^sinx = (2^4)^sinx = 2^(4sinx).
• 1/4 = 2^(-2), поэтому (1/4)^корень из3 sinx = (2^(-2))^(корень из3 sinx) = 2^(-2 * корень из3 sinx).

Теперь подставим эти преобразования в уравнение:

(2^(4sinx))^cosx = 2^(-2 * корень из3 sinx).

Используя свойства степеней, мы можем упростить левую часть:

2^(4sinx * cosx) = 2^(-2 * корень из3 sinx).

Теперь, так как основания одинаковые (оба равны 2), мы можем приравнять показатели:

4sinx * cosx = -2 * корень из3 sinx.

Теперь давайте упростим это уравнение. Переносим все на одну сторону:

4sinx * cosx + 2 * корень из3 sinx = 0.

Выносим sinx за скобки:

sinx (4cosx + 2 * корень из3) = 0.

Теперь у нас есть произведение, равное нулю, что означает, что хотя бы один из множителей равен нулю:

1. sinx = 0
2. 4cosx + 2 * корень из3 = 0

Теперь решим каждое из этих уравнений по отдельности.

1. Решение sinx = 0:

sinx = 0, когда x = nπ, где n - целое число.

2. Решение 4cosx + 2 * корень из3 = 0:

Решим это уравнение:

• 4cosx = -2 * корень из3
• cosx = -2 * корень из3 / 4 = -корень из3 / 2.

Теперь найдем значения x, при которых cosx = -корень из3 / 2. Это происходит в следующих квадрантах:

• x = 5π/6 + 2kπ, где k - целое число (второй квадрант)
• x = 7π/6 + 2kπ, где k - целое число (третий квадрант)

Теперь мы можем записать общее решение:

x = nπ (для sinx = 0) и x = 5π/6 + 2kπ, 7π/6 + 2kπ (для cosx = -корень из3 / 2), где n и k - целые числа.

Таким образом, мы нашли все решения данного уравнения.