Как решить уравнение: 2^(x+2) - 2^(2-x) = 15?

Алгебра 11 класс Уравнения с показателями уравнение алгебра решение уравнения 2^(x+2) 2^(2-x) математические задачи 11 класс алгебра 11 логарифмы экспоненты Новый

Чтобы решить уравнение 2^(x+2) - 2^(2-x) = 15, давайте начнем с упрощения выражений.

Первое, что мы можем сделать, это переписать каждое слагаемое:

• 2^(x+2) можно переписать как 4 * 2^x, так как 2^(x+2) = 2^x * 2^2 = 2^x * 4.
• 2^(2-x) можно переписать как 4 / 2^x, так как 2^(2-x) = 2^2 / 2^x = 4 / 2^x.

Теперь подставим эти преобразования в уравнение:

4 * 2^x - 4 / 2^x = 15

Далее, чтобы избавиться от дроби, умножим все части уравнения на 2^x (при условии, что 2^x ≠ 0):

4 (2^x)^2 - 4 = 15 2^x

Теперь у нас есть квадратное уравнение:

4 (2^x)^2 - 15 2^x - 4 = 0

Обозначим y = 2^x, тогда уравнение примет вид:

4y^2 - 15y - 4 = 0

Теперь мы можем решить это квадратное уравнение с помощью дискриминанта:

• Дискриминант D = b^2 - 4ac = (-15)^2 - 4 * 4 * (-4) = 225 + 64 = 289.
• Теперь находим корни уравнения по формуле: y = (-b ± √D) / 2a.

Подставляем значения:

y = (15 ± √289) / (2 * 4)

Так как √289 = 17, получаем:

y = (15 ± 17) / 8

Теперь найдем два возможных значения для y:

• y1 = (15 + 17) / 8 = 32 / 8 = 4
• y2 = (15 - 17) / 8 = -2 / 8 = -1/4

Так как y = 2^x, и 2^x всегда положительно, мы отбрасываем y2 = -1/4.

Теперь решим для y1 = 4:

2^x = 4

Мы знаем, что 4 = 2^2, следовательно:

x = 2

Таким образом, единственным решением уравнения 2^(x+2) - 2^(2-x) = 15 является:

x = 2