Как решить уравнение (2-x)√((x+2)/(x-1)) = √x + √(3x-4)?

Алгебра 11 класс Уравнения с корнями решение уравнения алгебра 11 класс уравнение с корнями квадратные корни алгебраические уравнения Новый

Чтобы решить уравнение (2-x)√((x+2)/(x-1)) = √x + √(3x-4), давайте рассмотрим его шаг за шагом.

Шаг 1: Определим область допустимых значений.

• Для выражения √((x+2)/(x-1)) необходимо, чтобы x + 2 ≥ 0 и x - 1 > 0. Это означает, что x ≥ -2 и x > 1. Таким образом, x > 1.
• Для √x необходимо, чтобы x ≥ 0.
• Для √(3x - 4) необходимо, чтобы 3x - 4 ≥ 0, что дает x ≥ 4/3.

Таким образом, область допустимых значений: x > 1 и x ≥ 4/3, что в итоге сводится к x ≥ 4/3.

Шаг 2: Избавимся от корней.

Возведем обе стороны уравнения в квадрат, чтобы убрать корни. Но сначала убедимся, что обе стороны положительны в области допустимых значений:

Левая сторона: (2-x)√((x+2)/(x-1)) будет положительной, если 2-x > 0, то есть x < 2. Это приводит к условию 4/3 < x < 2.

Теперь возведем обе стороны в квадрат:

((2-x)√((x+2)/(x-1)))^2 = (√x + √(3x-4))^2.

Это дает:

(2-x)^2 * (x+2)/(x-1) = x + 3x - 4 + 2√(x(3x-4)).

Шаг 3: Упростим уравнение.

Упрощая, получаем:

(2-x)^2 * (x+2)/(x-1) = 4x - 4 + 2√(x(3x-4)).

Шаг 4: Переносим все в одну сторону.

Переносим все термины в одну сторону и упрощаем:

(2-x)^2 * (x+2)/(x-1) - (4x - 4 + 2√(x(3x-4)) = 0.

Шаг 5: Решаем полученное уравнение.

Теперь нам нужно решить это уравнение. Это может быть довольно сложно, и может потребоваться дополнительное упрощение или численные методы для нахождения корней. Однако, если мы подберем значение, например, x = 1.5, то проверим, подходит ли оно.

Шаг 6: Проверка корней.

Подставляем x = 1.5 в исходное уравнение и проверяем, равны ли обе стороны:

Левая сторона: (2 - 1.5)√((1.5 + 2)/(1.5 - 1)) = 0.5√(3.5/0.5) = 0.5√7.

Правая сторона: √1.5 + √(3*1.5 - 4) = √1.5 + √0.5 = √1.5 + 0.5√2.

Если обе стороны равны, то x = 1.5 является решением. Если нет, то необходимо использовать другие значения или методы для нахождения корней.

Шаг 7: Итог.

Решение уравнения может потребовать дополнительных шагов, но основная идея заключается в том, чтобы упростить уравнение и проверить возможные значения в области допустимых значений. Важно помнить о проверке найденных решений, так как при возведении в квадрат могут появляться extraneous solutions.