Как решить уравнение 2cos^2x +(2- √2)sinx+√2-2=0 и выбрать корни, которые находятся в пределах отрезка [-3pi;-2pi]?

Алгебра 11 класс Уравнения тригонометрические уравнение решение алгебра 11 класс Тригонометрия корни отрезок [-3pi; -2pi] cos sin квадратное уравнение математические методы

Давай разберемся с уравнением 2cos^2x +(2- √2)sinx+√2-2=0! Это уравнение выглядит немного сложно, но мы справимся с ним вместе!

Шаг 1: Преобразуем уравнение.

Мы знаем, что cos^2x = 1 - sin^2x. Подставим это в уравнение:

• 2(1 - sin^2x) + (2 - √2)sinx + √2 - 2 = 0
• 2 - 2sin^2x + (2 - √2)sinx + √2 - 2 = 0
• -2sin^2x + (2 - √2)sinx + √2 = 0

Теперь умножим все на -1, чтобы упростить:

• 2sin^2x - (√2 - 2)sinx - √2 = 0

Шаг 2: Решаем квадратное уравнение.

Теперь у нас есть стандартное квадратное уравнение:

• 2sin^2x - (√2 - 2)sinx - √2 = 0

Используем формулу для нахождения корней квадратного уравнения:

• sinx = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / 2a

где a = 2, b = -(√2 - 2), c = -√2.

Теперь вычислим дискриминант:

• D = (√2 - 2)^2 - 4 * 2 * (-√2)
• D = (2 - 4√2 + 4) + 8√2 = 6 + 4√2

Теперь найдем корни:

• sinx = (√2 - 2 ± √(6 + 4√2)) / 4

Шаг 3: Находим значения sinx.

Теперь подставим значения и найдем корни. После этого найдем x:

• x = arcsin(sinx) + 2kπ
• x = π - arcsin(sinx) + 2kπ

Шаг 4: Находим корни в пределах [-3π; -2π].

Теперь, когда мы нашли корни, нам нужно выбрать только те, которые лежат в заданном отрезке. Для этого подставляем k = -2 и -3:

• x = arcsin(sinx) - 4π
• x = π - arcsin(sinx) - 4π

Итак, подставляя значения, мы получим корни в нужном диапазоне. Не забудь проверить все найденные значения на соответствие отрезку [-3π; -2π]!

Успехов тебе в решении уравнений! Дерзай, и у тебя всё получится!

Для решения уравнения 2cos²x + (2 - √2)sinx + √2 - 2 = 0 начнем с преобразования его в более удобный вид. Мы знаем, что cos²x = 1 - sin²x. Подставим это в уравнение:

• 2(1 - sin²x) + (2 - √2)sinx + √2 - 2 = 0

Упростим уравнение:

• 2 - 2sin²x + (2 - √2)sinx + √2 - 2 = 0
• -2sin²x + (2 - √2)sinx + √2 = 0

Теперь умножим все уравнение на -1 для удобства:

• 2sin²x - (2 - √2)sinx - √2 = 0

Теперь у нас есть квадратное уравнение относительно sinx. Обозначим y = sinx, тогда уравнение принимает вид:

• 2y² - (2 - √2)y - √2 = 0

Теперь воспользуемся формулой для нахождения корней квадратного уравнения y = (-b ± √(b² - 4ac)) / 2a, где a = 2, b = -(2 - √2), c = -√2.

Сначала найдем дискриминант:

• D = b² - 4ac = (-(2 - √2))² - 4 * 2 * (-√2)
• D = (2 - √2)² + 8√2
• D = 4 - 4√2 + 2 + 8√2 = 6 + 4√2

Теперь подставим дискриминант в формулу корней:

• y₁,₂ = (2 - √2 ± √(6 + 4√2)) / 4

Теперь найдем значения y₁ и y₂. После нахождения корней, нам нужно будет найти соответствующие значения x.

Теперь, когда у нас есть значения y, мы можем найти sinx и использовать обратную функцию синуса для нахождения x. Не забудьте, что sinx может принимать значения в пределах [-1, 1].

Теперь найдём корни уравнения в пределах отрезка [-3π; -2π]. Для этого используем формулы:

• x = arcsin(y) + 2kπ
• x = π - arcsin(y) + 2kπ

Где k - целое число, которое мы подбираем так, чтобы получить значения x в заданном диапазоне. Подбираем k = -2 и k = -3 для нахождения корней в пределах отрезка [-3π; -2π].

После подбора значений x из этих формул мы получим необходимые корни уравнения.

Таким образом, решение уравнения включает в себя:

1. Преобразование уравнения.
2. Нахождение корней квадратного уравнения.
3. Определение значений x для найденных y.
4. Подбор значений для k для нахождения корней в заданном интервале.

Проверьте каждое значение, чтобы убедиться, что оно действительно находится в пределах [-3π; -2π].