Как решить уравнение 2cos²x + (2 - √2)sinx + √2 - 2 = 0?

Алгебра 11 класс Уравнения тригонометрической функции уравнение косинуса решение уравнения алгебра 11 класс тригонометрические уравнения методы решения уравнений Новый

Чтобы решить уравнение 2cos²x + (2 - √2)sinx + √2 - 2 = 0, начнем с того, что вспомним, что cos²x можно выразить через sinx. Используем тождество:

cos²x = 1 - sin²x

Подставим это выражение в уравнение:

2(1 - sin²x) + (2 - √2)sinx + √2 - 2 = 0

Раскроем скобки:

2 - 2sin²x + (2 - √2)sinx + √2 - 2 = 0

Сложим подобные слагаемые:

-2sin²x + (2 - √2)sinx + (√2 - 2) = 0

Теперь умножим уравнение на -1, чтобы избавиться от отрицательных коэффициентов:

2sin²x - (2 - √2)sinx - (√2 - 2) = 0

Теперь у нас есть квадратное уравнение относительно sinx. Обозначим sinx как y:

2y² - (2 - √2)y - (√2 - 2) = 0

Теперь мы можем использовать формулу для решения квадратного уравнения:

y = (-b ± √(b² - 4ac)) / 2a

Где a = 2, b = -(2 - √2), c = -(√2 - 2).

Подставим значения a, b и c в формулу:

b² = (2 - √2)² = 4 - 4√2 + 2 = 6 - 4√2

4ac = 4 * 2 * (√2 - 2) = 8(√2 - 2) = 8√2 - 16

Теперь найдем дискриминант:

D = b² - 4ac = (6 - 4√2) - (8√2 - 16) = 6 - 4√2 - 8√2 + 16 = 22 - 12√2

Теперь, если D > 0, у нас будет два различных корня. Если D = 0, будет один корень. Если D < 0, корней нет.

Рассмотрим случай, когда D ≥ 0:

Теперь найдем корни:

y = (2 - √2 ± √(22 - 12√2)) / 4

После нахождения корней y, нам нужно будет найти соответствующие значения x. Для этого используем обратную функцию синуса:

x = arcsin(y)

Не забудьте учесть, что синус может принимать значения в интервале [-1, 1]. Если какое-либо значение y не попадает в этот интервал, то оно не имеет решения в реальных числах.

Также, так как синус периодическая функция, необходимо учесть все возможные значения x в пределах одного периода (например, от 0 до 2π) и, если нужно, добавить 2πk, где k - целое число.

Таким образом, у вас будет полный набор решений для уравнения 2cos²x + (2 - √2)sinx + √2 - 2 = 0.