Для решения уравнения 2sin^2x - 3sinxcosx - 5cos^2x = 0, мы можем использовать несколько шагов. Давайте разберем их подробно.

1. Замена переменных: Поскольку у нас есть и синусы, и косинусы, давайте сделаем замену. Обозначим sinx как u и cosx как v. Тогда у нас есть равенство u^2 + v^2 = 1, так как sin^2x + cos^2x = 1.
2. Выразим cosx через sinx: Из уравнения u^2 + v^2 = 1 мы можем выразить v через u: v = sqrt(1 - u^2).
3. Подставим в уравнение: Теперь подставим v = sqrt(1 - u^2) в исходное уравнение:
   • 2u^2 - 3u * sqrt(1 - u^2) - 5(1 - u^2) = 0.
4. Упростим уравнение: Раскроем скобки и упростим:
   • 2u^2 - 3u * sqrt(1 - u^2) - 5 + 5u^2 = 0,
   • 7u^2 - 3u * sqrt(1 - u^2) - 5 = 0.
5. Переносим все в одну сторону: Теперь мы можем выразить это уравнение в более удобной форме:
   • 3u * sqrt(1 - u^2) = 7u^2 - 5.
6. Квадрат обеих сторон: Чтобы избавиться от квадратного корня, возведем обе стороны в квадрат:
   • (3u * sqrt(1 - u^2))^2 = (7u^2 - 5)^2.
7. Раскроем скобки: После раскрытия скобок у нас получится:
   • 9u^2(1 - u^2) = 49u^4 - 70u^2 + 25.
8. Упрощаем уравнение: Приведем все к одной стороне:
   • 9u^2 - 9u^4 = 49u^4 - 70u^2 + 25,
   • 0 = 58u^4 - 79u^2 + 25.
9. Подставим z = u^2: Теперь давайте сделаем замену z = u^2. У нас получится квадратное уравнение:
   • 58z^2 - 79z + 25 = 0.
10. Решаем квадратное уравнение: Используем формулу для решения квадратного уравнения:
    • z = [79 ± sqrt(79^2 - 4 * 58 * 25)] / (2 * 58).
11. Находим корни: После вычислений мы получим значения z (u^2). После этого не забудьте найти значения u (sinx) и затем x, используя обратные функции синуса и косинуса.

Таким образом, мы можем найти значения x, удовлетворяющие исходному уравнению. Не забудьте проверить, что найденные значения находятся в пределах допустимых значений для синуса и косинуса.