Как решить уравнение: 2sin^2x - 5sinxcosx = 3?

Алгебра 11 класс Уравнения тригонометрические решение уравнения алгебра 11 класс Тригонометрия синус косинус уравнение с синусом математические методы алгебраические уравнения Новый

Для решения уравнения 2sin^2x - 5sinxcosx = 3, мы начнем с того, что упростим его и переведем в более удобную форму.

1. Перепишем уравнение:

У нас есть уравнение 2sin^2x - 5sinxcosx - 3 = 0. Это квадратное уравнение относительно sinx.

2. Введем замену:

Обозначим sinx как t. Тогда у нас получится:

2t^2 - 5tcosx - 3 = 0.

3. Решим это квадратное уравнение:

Для решения квадратного уравнения мы можем использовать формулу корней:

t = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / (2a),

где a = 2, b = -5cosx, c = -3.

4. Вычислим дискриминант:

D = b^2 - 4ac = (-5cosx)^2 - 4 * 2 * (-3) = 25cos^2x + 24.

5. Найдём корни:

Теперь подставим дискриминант в формулу корней:

t = (5cosx ± √(25cos^2x + 24)) / 4.

6. Возвращаемся к sinx:

Теперь у нас есть два значения для t (sinx), которые мы обозначим как:

t1 = (5cosx + √(25cos^2x + 24)) / 4,

t2 = (5cosx - √(25cos^2x + 24)) / 4.

7. Находим соответствующие значения x:

Теперь нам нужно решить уравнения sinx = t1 и sinx = t2. Однако, не забудьте, что значения t1 и t2 должны находиться в диапазоне [-1, 1], так как это диапазон значений функции синуса.

8. Проверяем условия:

Если t1 или t2 выходит за пределы [-1, 1], то это решение не подходит. Если же оба значения находятся в пределах, то мы можем найти x:

x = arcsin(t1) + k * π и x = arcsin(t2) + k * π, где k - любое целое число.

Таким образом, мы нашли решения для исходного уравнения. Не забудьте проверить каждое значение x на принадлежность заданному интервалу, если он задан.