Для решения уравнения √2sin^(3)x - √2sinx + cos^(2)x = 0 начнем с упрощения и преобразования уравнения. Воспользуемся тем, что cos^(2)x можно выразить через sinx, используя основное тригонометрическое тождество:

cos^(2)x = 1 - sin^(2)x.

Теперь подставим это выражение в уравнение:

√2sin^(3)x - √2sinx + (1 - sin^(2)x) = 0.

Теперь упростим уравнение:

• √2sin^(3)x - √2sinx + 1 - sin^(2)x = 0.
• Соберем все члены вместе:
• √2sin^(3)x - sin^(2)x - √2sinx + 1 = 0.

Теперь обозначим sinx как t, тогда уравнение примет вид:

√2t^(3) - t^(2) - √2t + 1 = 0.

Это кубическое уравнение относительно t. Попробуем найти его корни. Для этого воспользуемся методом подбора и проверим, есть ли уравнение простые корни, например t = 1 и t = -1:

• Подставим t = 1:
• √2(1)^(3) - (1)^(2) - √2(1) + 1 = √2 - 1 - √2 + 1 = 0.
• Следовательно, t = 1 является корнем уравнения.

Теперь можем использовать деление многочленов, чтобы упростить кубическое уравнение:

Разделим √2t^(3) - t^(2) - √2t + 1 на (t - 1):

После деления мы получим:

√2t^(2) + t + 1 = 0.

Теперь решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта:

D = b^(2) - 4ac = 1^(2) - 4(√2)(1) = 1 - 4√2.

Так как D < 0, у этого уравнения нет действительных корней.

Таким образом, единственный действительный корень уравнения √2sin^(3)x - √2sinx + cos^(2)x = 0 это t = 1, что соответствует sinx = 1.

Теперь найдем корни на промежутке [-5π/2; -π]. Поскольку sinx = 1, это происходит при:

x = π/2 + 2kπ, где k - целое число.

Теперь найдем значения k, чтобы x находилось в заданном промежутке:

• Для k = -3: x = π/2 - 6π/2 = -5π/2.
• Для k = -2: x = π/2 - 4π/2 = -3π/2.
• Для k = -1: x = π/2 - 2π/2 = -π/2.

Таким образом, корни уравнения на промежутке [-5π/2; -π] будут:

• x = -5π/2,
• x = -3π/2.

Ответ: корни уравнения на заданном промежутке -5π/2 и -3π/2.