Как решить уравнение: √(2x + 1) - √(4x + 3) = 1?

Алгебра 11 класс Уравнения с корнями решение уравнения алгебра 11 класс корни уравнения квадратные корни математические уравнения алгебраические задачи Новый

Чтобы решить уравнение √(2x + 1) - √(4x + 3) = 1, следуем следующим шагам:

1. Изолируем один из корней. Для этого перенесем √(4x + 3) на правую сторону уравнения:
• √(2x + 1) = √(4x + 3) + 1
2. Возводим обе стороны уравнения в квадрат. Это поможет избавиться от квадратных корней:
• (√(2x + 1))^2 = (√(4x + 3) + 1)^2
• 2x + 1 = (4x + 3) + 2√(4x + 3) + 1
3. Упрощаем уравнение. Сначала упростим правую часть:
• 2x + 1 = 4x + 4 + 2√(4x + 3)
• 2x + 1 - 4x - 4 = 2√(4x + 3)
• -2x - 3 = 2√(4x + 3)
4. Изолируем квадратный корень. Разделим обе стороны на 2:
• -x - 3/2 = √(4x + 3)
5. Возводим обе стороны снова в квадрат.
• (-x - 3/2)^2 = (√(4x + 3))^2
• x^2 + 3x + 9/4 = 4x + 3
6. Приводим все к одной стороне. Переносим все влево:
• x^2 + 3x + 9/4 - 4x - 3 = 0
• x^2 - x + 9/4 - 12/4 = 0
• x^2 - x - 3/4 = 0
7. Решаем квадратное уравнение. Используем формулу для нахождения корней:
• x = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / 2a, где a = 1, b = -1, c = -3/4.
• b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4*1*(-3/4) = 1 + 3 = 4.
• Корни: x = (1 ± 2) / 2.
• Получаем: x1 = 3/2 и x2 = -1/2.
8. Проверяем найденные корни. Подставляем x1 и x2 в исходное уравнение:
• Для x1 = 3/2: √(2*3/2 + 1) - √(4*3/2 + 3) = √(3 + 1) - √(6 + 3) = √4 - √9 = 2 - 3 = -1 (не подходит).
• Для x2 = -1/2: √(2*(-1/2) + 1) - √(4*(-1/2) + 3) = √(0) - √(1) = 0 - 1 = -1 (не подходит).
9. Вывод. Уравнение не имеет решений, так как оба найденных корня не удовлетворяют исходному уравнению.