Как решить уравнение: 3 sin^2 - 4sinxcosx + 5cos^2x = 2?

Алгебра 11 класс Уравнения тригонометрические решение уравнения алгебра 11 класс тригонометрические функции синус и косинус математические уравнения Новый

Для решения уравнения 3sin^2x - 4sinxcosx + 5cos^2x = 2, начнем с приведения его к более удобному виду.

Шаг 1: Заменим sin^2x и cos^2x.

• Мы знаем, что sin^2x + cos^2x = 1. Таким образом, можно выразить cos^2x через sin^2x:
• cos^2x = 1 - sin^2x.

Подставим это в уравнение:

3sin^2x - 4sinx(√(1 - sin^2x)) + 5(1 - sin^2x) = 2.

Шаг 2: Упростим уравнение.

• Раскроем скобки:
• 3sin^2x - 4sinx√(1 - sin^2x) + 5 - 5sin^2x = 2.
• Соберем подобные слагаемые:
• (3sin^2x - 5sin^2x) - 4sinx√(1 - sin^2x) + 5 = 2.
• Получаем: -2sin^2x - 4sinx√(1 - sin^2x) + 5 = 2.

Шаг 3: Переносим все в одну сторону.

-2sin^2x - 4sinx√(1 - sin^2x) + 5 - 2 = 0.

-2sin^2x - 4sinx√(1 - sin^2x) + 3 = 0.

Шаг 4: Упростим уравнение.

Умножим все на -1 для удобства:

2sin^2x + 4sinx√(1 - sin^2x) - 3 = 0.

Шаг 5: Введем замену.

Пусть t = sinx. Тогда уравнение принимает вид:

2t^2 + 4t√(1 - t^2) - 3 = 0.

Шаг 6: Решим полученное уравнение.

Это уравнение можно решить численно или графически, так как оно не имеет простого аналитического решения. Если вы хотите, мы можем использовать численные методы, такие как метод Ньютона, для нахождения корней.

Шаг 7: Найдем значения x.

• Если мы нашли t = sinx, то x = arcsin(t).
• Не забудьте учесть, что sinx может принимать несколько значений в пределах одного периода.

Таким образом, мы можем найти все возможные решения уравнения 3sin^2x - 4sinxcosx + 5cos^2x = 2, подставляя значения t обратно в выражение для x.