Как решить уравнение (36^sinx)^cosx=6^√2sinx и найти все корни этого уравнения, которые находятся в пределах отрезка [2π; 7π/2]?

Алгебра 11 класс Уравнения с тригонометрическими функциями решить уравнение уравнение с синусом и косинусом корни уравнения алгебра 11 класс отрезок [2π; 7π/2] Новый

Для решения уравнения (36^sinx)^cosx = 6^√2sinx начнем с упрощения обеих сторон уравнения.

Первое, что мы можем сделать, это выразить 36 и 6 через основание 6:

• 36 = 6^2, тогда 36^sinx = (6^2)^sinx = 6^(2sinx).
• Таким образом, (36^sinx)^cosx = (6^(2sinx))^cosx = 6^(2sinx * cosx).

Теперь подставим это в уравнение:

6^(2sinx * cosx) = 6^(√2sinx).

Поскольку основания равны, мы можем приравнять показатели:

2sinx * cosx = √2sinx.

Теперь перенесем все в одну сторону:

2sinx * cosx - √2sinx = 0.

Вынесем sinx за скобки:

sinx(2cosx - √2) = 0.

Теперь у нас есть два множителя, которые могут быть равны нулю:

1. sinx = 0,
2. 2cosx - √2 = 0.

Решим первое уравнение:

sinx = 0.

Это происходит при:

x = nπ, где n - целое число.

Теперь найдем значения, которые лежат в пределах отрезка [2π; 7π/2]:

• n = 2: x = 2π,
• n = 3: x = 3π,
• n = 4: x = 4π,
• n = 5: x = 5π,
• n = 6: x = 6π.

Но 6π находится за пределами отрезка, поэтому оставляем: 2π, 3π, 4π, 5π.

Теперь решим второе уравнение:

2cosx - √2 = 0.

Отсюда: cosx = √2/2.

Это происходит при:

• x = π/4 + 2kπ,
• x = 7π/4 + 2kπ, где k - целое число.

Теперь найдем значения в пределах [2π; 7π/2]:

Для k = 0:

• x = π/4 (не подходит),
• x = 7π/4 (не подходит).

Для k = 1:

• x = π/4 + 2π = 9π/4 (подходит),
• x = 7π/4 + 2π = 15π/4 (не подходит).

Для k = 2:

• x = π/4 + 4π = 17π/4 (не подходит),
• x = 7π/4 + 4π = 23π/4 (не подходит).

Таким образом, из второго уравнения мы получили только одно значение: 9π/4.

Теперь соберем все найденные корни:

• x = 2π,
• x = 3π,
• x = 4π,
• x = 5π,
• x = 9π/4.

Ответ: корни уравнения в пределах отрезка [2π; 7π/2]: 2π, 3π, 4π, 5π, 9π/4.