Как решить уравнение 3sin2x+5sinx-2= 0?

Алгебра 11 класс Уравнения с тригонометрическими функциями решение уравнения алгебра 3sin2x+5sinx-2=0 тригонометрические уравнения нахождение корней Новый

Чтобы решить уравнение 3sin²x + 5sinx - 2 = 0, мы начнем с замены переменной. Обозначим sinx как t. Тогда уравнение примет вид:

3t² + 5t - 2 = 0

Теперь у нас есть квадратное уравнение. Для его решения воспользуемся формулой дискриминанта:

D = b² - 4ac

В нашем случае a = 3, b = 5, c = -2. Подставим значения в формулу для дискриминанта:

• D = 5² - 4 * 3 * (-2)
• D = 25 + 24
• D = 49

Дискриминант D равен 49, который является положительным, что означает, что у уравнения есть два различных корня. Теперь найдем их с помощью формулы корней квадратного уравнения:

t1,2 = (-b ± √D) / (2a)

• t1 = (-5 + √49) / (2 * 3)
• t1 = (-5 + 7) / 6 = 2 / 6 = 1/3
• t2 = (-5 - √49) / (2 * 3)
• t2 = (-5 - 7) / 6 = -12 / 6 = -2

Теперь у нас есть два значения для t:

t1 = 1/3 и t2 = -2

Теперь вернемся к исходной переменной sinx:

1. Для t1 = 1/3:

• sinx = 1/3
• Для нахождения x используем арксинус: x = arcsin(1/3)
• Также учтем, что синус имеет период 2π, поэтому общее решение будет: x = arcsin(1/3) + 2kπ и x = π - arcsin(1/3) + 2kπ, где k – целое число.

2. Для t2 = -2:

• sinx = -2
• Так как синус не может принимать значения меньше -1 и больше 1, это уравнение не имеет решений.

Таким образом, окончательное решение уравнения 3sin²x + 5sinx - 2 = 0 будет:

x = arcsin(1/3) + 2kπ и x = π - arcsin(1/3) + 2kπ, где k – целое число.