Как решить уравнение 5×4ˣ + 3×10ˣ = 2 × 25ˣ, пожалуйста, помогите!

Алгебра 11 класс Уравнения с переменной в показателе решить уравнение алгебра 11 класс 5×4ˣ + 3×10ˣ = 2 × 25ˣ помощь по алгебре Новый

Чтобы решить уравнение 5×4ˣ + 3×10ˣ = 2 × 25ˣ, давайте сначала упростим его, используя свойства степеней и замену переменных.

Шаг 1: Преобразование степеней

• Мы знаем, что 25 = 5², поэтому 25ˣ = (5²)ˣ = 5^(2x).
• Также 10 = 2 × 5, следовательно, 10ˣ = (2 × 5)ˣ = 2ˣ × 5ˣ.
• Теперь подставим эти преобразования в уравнение:

5 × 4ˣ + 3 × (2ˣ × 5ˣ) = 2 × (5²)ˣ

5 × 4ˣ + 3 × 2ˣ × 5ˣ = 2 × 5^(2x)

Шаг 2: Замена переменных

• Обозначим 5ˣ = y. Тогда 4ˣ = (2²)ˣ = 2^(2x) = (2ˣ)².
• Обозначим 2ˣ = z. Таким образом, 4ˣ = z².

Теперь у нас есть:

5y + 3zy = 2y²

Шаг 3: Приведение к квадратному уравнению

Перепишем уравнение:

2y² - 3zy - 5y = 0

Шаг 4: Решение квадратного уравнения

Теперь мы можем использовать формулу для решения квадратного уравнения ax² + bx + c = 0:

• a = 2
• b = -3z
• c = -5

Дискриминант D = b² - 4ac:

D = (-3z)² - 4 × 2 × (-5) = 9z² + 40

Теперь находим корни:

y₁, y₂ = (-b ± √D) / (2a) = (3z ± √(9z² + 40)) / 4

Шаг 5: Обратная замена

Теперь, когда мы нашли y, нам нужно вернуть y в 5ˣ. Так как y = 5ˣ, мы можем выразить x:

x₁, x₂ = log₅(y₁), log₅(y₂)

Шаг 6: Подстановка значений

Теперь подставляем найденные значения y₁ и y₂, чтобы найти соответствующие значения x.

Не забудьте, что z = 2ˣ, и вам нужно будет решить это уравнение для x, если вы хотите выразить его в терминах x.

Таким образом, мы можем получить окончательные значения x, решая уравнение с использованием логарифмов.

Если у вас есть дополнительные вопросы или вам нужно больше помощи, не стесняйтесь спрашивать!