Как решить уравнение: 5*4^(x-1) - 16^x + 0.25*2^(2x+2) + 7 = 0? Срочно! Дам 20 баллов.

Алгебра 11 класс Уравнения с показателями решение уравнения алгебра 11 класс уравнение с экспонентами 5*4^(x-1) 16^x 0.25*2^(2x+2) математические задачи алгебраические уравнения Новый

Чтобы решить уравнение 5*4^(x-1) - 16^x + 0.25*2^(2x+2) + 7 = 0, начнем с упрощения выражений, используя свойства степеней.

Шаг 1: Преобразование оснований

• Обратите внимание, что 4 можно выразить как 2 в степени 2: 4 = 2^2.
• Тогда 4^(x-1) = (2^2)^(x-1) = 2^(2(x-1)) = 2^(2x-2).
• Также 16 можно выразить как 2 в степени 4: 16 = 2^4, следовательно, 16^x = (2^4)^x = 2^(4x).
• Теперь 0.25 можно записать как 1/4 = 2^(-2), тогда 0.25*2^(2x+2) = 2^(-2)*2^(2x+2) = 2^(2x+2-2) = 2^(2x).

Теперь подставим все преобразования в уравнение:

5*2^(2x-2) - 2^(4x) + 2^(2x) + 7 = 0.

Шаг 2: Упрощение уравнения

• Умножим все части уравнения на 4 (чтобы избавиться от дроби):
• 4*(5*2^(2x-2)) - 4*(2^(4x)) + 4*(2^(2x)) + 4*7 = 0.
• Это дает: 20*2^(2x-2) - 4*2^(4x) + 4*2^(2x) + 28 = 0.
• Упрощаем: 20*2^(2x) / 4 - 4*2^(4x) + 4*2^(2x) + 28 = 0, что упрощается до 5*2^(2x) - 4*2^(4x) + 4*2^(2x) + 28 = 0.
• Теперь соберем подобные слагаемые: (5+4)*2^(2x) - 4*2^(4x) + 28 = 0.
• Это дает 9*2^(2x) - 4*2^(4x) + 28 = 0.

Шаг 3: Замена переменной

Теперь сделаем замену: пусть y = 2^(2x). Тогда 2^(4x) = (2^(2x))^2 = y^2.

Подставим это в уравнение:

9y - 4y^2 + 28 = 0.

Шаг 4: Приведение к стандартному виду

Перепишем уравнение в стандартном виде:

-4y^2 + 9y + 28 = 0.

Умножим на -1:

4y^2 - 9y - 28 = 0.

Шаг 5: Решение квадратного уравнения

Теперь применим формулу для решения квадратного уравнения:

y = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / (2a), где a = 4, b = -9, c = -28.

• Находим дискриминант: D = (-9)^2 - 4*4*(-28) = 81 + 448 = 529.
• Теперь подставляем в формулу: y = (9 ± √529) / (2*4) = (9 ± 23) / 8.

Это дает два решения:

• y1 = (9 + 23) / 8 = 32 / 8 = 4.
• y2 = (9 - 23) / 8 = -14 / 8 = -1.75 (отрицательное значение, не подходит, так как y = 2^(2x) всегда положительно).

Шаг 6: Возвращаемся к x

Теперь найдем x из y = 4:

2^(2x) = 4.

Это означает, что 2^(2x) = 2^2, следовательно, 2x = 2, и x = 1.

Ответ: x = 1.