Как решить уравнение cos(4x) + sin(4x) - корень квадратный из 2 * sin(x) = 0?

Алгебра 11 класс Решение тригонометрических уравнений уравнение решить cos sin Корень квадратный алгебра 11 класс Тригонометрия математические задачи Новый

Чтобы решить уравнение cos(4x) + sin(4x) - √2 * sin(x) = 0, давайте разберем его по шагам.

1. Сначала упростим выражение cos(4x) + sin(4x). Мы можем воспользоваться формулой для суммы косинуса и синуса:

   cos(α) + sin(α) = √2 * sin(α + π/4). В нашем случае α = 4x.

   Таким образом, мы можем записать:

   cos(4x) + sin(4x) = √2 * sin(4x + π/4).

2. Теперь подставим это выражение в исходное уравнение:

   √2 * sin(4x + π/4) - √2 * sin(x) = 0.

3. Вынесем √2 за скобки:

   √2 (sin(4x + π/4) - sin(x)) = 0.

4. Так как √2 не равно нулю, мы можем упростить уравнение до:

   sin(4x + π/4) - sin(x) = 0.

5. Теперь решим уравнение:

   sin(4x + π/4) = sin(x).

6. Используя свойство равенства синусов, мы знаем, что:

   4x + π/4 = x + 2kπ или 4x + π/4 = π - x + 2kπ, где k - целое число.

7. Решим первое уравнение:

   • 4x + π/4 = x + 2kπ
   • 4x - x = 2kπ - π/4
   • 3x = 2kπ - π/4
   • x = (2kπ - π/4) / 3

8. Теперь решим второе уравнение:

   • 4x + π/4 = π - x + 2kπ
   • 4x + x = π - π/4 + 2kπ
   • 5x = π(1 - 1/4) + 2kπ
   • 5x = (3π/4) + 2kπ
   • x = (3π/20) + (2kπ/5)

9. Таким образом, мы получили два семейства решений:

   • x = (2kπ - π/4) / 3
   • x = (3π/20) + (2kπ/5)

Теперь вы можете подставлять различные значения k, чтобы получить конкретные решения в пределах нужного вам интервала.