Как решить уравнение cos(пx/3) = -1/2 и найти наибольший отрицательный корень в ответе?

Алгебра 11 класс Уравнения тригонометрической функции решение уравнения cos(пx/3) = -1/2 наибольший отрицательный корень алгебра 11 класс тригонометрические уравнения Новый

Для решения уравнения cos(пx/3) = -1/2 мы будем использовать свойства тригонометрических функций и их периодичность. Шаги решения следующие:

1. Определим угол, при котором косинус равен -1/2. Мы знаем, что cos(2π/3) = -1/2 и cos(4π/3) = -1/2. Эти значения находятся в третьем и втором квадрантах соответственно.
2. Запишем общее решение для косинуса. Учитывая периодичность косинуса, мы можем записать следующие уравнения:
   • пx/3 = 2π/3 + 2kπ, где k – целое число (для первого угла),
   • пx/3 = 4π/3 + 2kπ, где k – целое число (для второго угла).
3. Решим каждое из уравнений для x.
   • Из первого уравнения:

     пx/3 = 2π/3 + 2kπ

     x = (2π/3 + 2kπ) * (3/п) = 2/п + 6k.

   • Из второго уравнения:

     пx/3 = 4π/3 + 2kπ

     x = (4π/3 + 2kπ) * (3/п) = 4/п + 6k.

Таким образом, мы получили два выражения для x:

• x = 2/п + 6k,
• x = 4/п + 6k.

Теперь, чтобы найти наибольший отрицательный корень, мы подберем целые значения k.

1. Для первого выражения x = 2/п + 6k:
   • Если k = -1, то x = 2/п - 6 = 2/п - 6 (отрицательное значение).
   • Если k = -2, то x = 2/п - 12 (также отрицательное значение).
2. Для второго выражения x = 4/п + 6k:
   • Если k = -1, то x = 4/п - 6 (отрицательное значение).
   • Если k = -2, то x = 4/п - 12 (также отрицательное значение).

Теперь сравним найденные корни, чтобы определить наибольший отрицательный:

• 2/п - 6,
• 4/п - 6,
• 2/п - 12,
• 4/п - 12.

Наибольший отрицательный корень будет тот, который ближе к нулю. Поскольку 4/п > 2/п, то 4/п - 6 является наибольшим отрицательным корнем.

Таким образом, наибольший отрицательный корень уравнения cos(пx/3) = -1/2 равен 4/п - 6.