Как решить уравнение cosx - 2sin2x = 1 + 4cos(п/2 + х) и найти корни на отрезке [п/2; 5п/2]? Спасибо всем, кто поможет!
Алгебра 11 класс Уравнения тригонометрические решение уравнения корни уравнения алгебра 11 класс тригонометрические уравнения cos x sin x отрезок [п/2; 5п/2] Новый
Для решения уравнения cos(x) - 2sin(2x) = 1 + 4cos(π/2 + x) мы начнем с упрощения правой части уравнения.
Сначала вспомним, что cos(π/2 + x) = -sin(x). Таким образом, уравнение принимает вид:
cos(x) - 2sin(2x) = 1 - 4sin(x)
Теперь мы можем выразить sin(2x) через sin(x). Напомним, что sin(2x) = 2sin(x)cos(x). Подставим это в уравнение:
cos(x) - 2(2sin(x)cos(x)) = 1 - 4sin(x)
Упрощаем уравнение:
Теперь мы имеем два случая:
Рассмотрим первый случай:
1 - 4sin(x) = 0
Отсюда 4sin(x) = 1, что дает sin(x) = 1/4.
Теперь найдем x на отрезке [π/2; 5π/2]. Значения sin(x) = 1/4 будут находиться в первой и второй четверти:
Первый корень:
x_1 = arcsin(1/4)
Второй корень в пределах заданного отрезка:
x_2 = π - arcsin(1/4)
Так как arcsin(1/4) находится в первой четверти, а π - arcsin(1/4) будет во второй четверти.
Теперь рассмотрим второй случай:
cos(x) = 0
Это происходит при:
Теперь соберем все корни:
Таким образом, корни уравнения на отрезке [π/2; 5π/2] это:
Это и есть все корни уравнения на заданном отрезке.